[論文レビュー] Quantum Error Correcting Subsystem Codes From Two Classical Linear Codes

Dave Bacon, Andrea Casaccino|ArXiv.org|Oct 11, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、2つの古典的線形符号から構成される、新しいクラスの量子誤り訂正サブシステム符号を提示する。この符号は、一般化されたショア符号と比較して、誤り回復に必要な安定化子測定の回数を顕著に削減する。連結量子符号をサブシステム符号として再解釈することにより、同じ誤り訂正距離を達成しつつ、測定のオーバーヘッドを最大で2乗の割合で削減し、より効率的なフォールトトレラント量子計算を可能にする。

ABSTRACT

The essential insight of quantum error correction was that quantum information can be protected by suitably encoding this quantum information across multiple independently erred quantum systems. Recently it was realized that, since the most general method for encoding quantum information is to encode it into a subsystem, there exists a novel form of quantum error correction beyond the traditional quantum error correcting subspace codes. These new quantum error correcting subsystem codes differ from subspace codes in that their quantum correcting routines can be considerably simpler than related subspace codes. Here we present a class of quantum error correcting subsystem codes constructed from two classical linear codes. These codes are the subsystem versions of the quantum error correcting subspace codes which are generalizations of Shor's original quantum error correcting subspace codes. For every Shor-type code, the codes we present give a considerable savings in the number of stabilizer measurements needed in their error recovery routines.

研究の動機と目的

• 従来の部分空間符号と比較して、誤り回復ルーチンの複雑さを低減する新しいクラスの量子誤り訂正サブシステム符号を開発すること。
• 2つの古典的線形符号を用いて、ショア型量子符号をサブシステム符号へ一般化することで、誤り訂正プロセスを簡素化すること。
• 一般化されたショア符号と同等の量子誤り訂正距離を達成しつつ、必要な安定化子測定の回数を最小限に抑えること。
• 誤り回復における安定化子測定のリソースオーバーヘッドを削減することで、より効率的なフォールトトレラント量子計算を実現すること。

提案手法

• 2つの古典的線形符号 $\mathcal{C}_1$ と $\mathcal{C}_2$ を $\mathbb{F}_2$ 上で結合することで、従来のショア方式とは異なり、連結化するのではなく、量子サブシステム符号を構築する。
• 論理的キュービットをサブシステムに符号化する安定化子符号としてサブシステム符号を定義し、より柔軟な誤り訂正ルーチンを可能にする。
• $\mathcal{C}_1$ と $\mathcal{C}_2$ の生成行列を用いて、得られる量子符号の安定化子生成子を定義し、必要な安定化子測定の回数を $(n_1 - k_1)k_2 + k_1(n_2 - k_2)$ にまで削減する。
• サブシステム構造を活用して、誤り訂正に寄与しない余分な安定化子測定を排除し、特に符号の距離を向上させない安定化子を削除する。
• 冗長符号やハミング符号などの既知の古典的符号を適用し、測定複雑性が最適化された明示的な量子サブシステム符号を生成する。
• 得られた符号が、対応する一般化されたショア符号と同等の距離 $\min(d_1, d_2)$ を有することを示し、同等の誤り保護を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの古典的線形符号から構築されたサブシステム符号は、一般化されたショア符号と同等の誤り訂正能力を有しながら、安定化子測定回数を減らすことができるか？
• RQ2 同じ古典的符号を用いた場合、サブシステム符号における誤り回復の測定複雑性は、部分空間符号と比べてどのように異なるか？
• RQ3 連結量子符号をサブシステム符号として再解釈することで、安定化子測定回数を最大でどれほど削減できるか？
• RQ4 提案された構成により、回復の複雑さを低減することで、フォールトトレラント量子計算の閾値が向上するか？
• RQ5 冗長符号やハミング符号などの具体的な例において、特定のパラメータと測定の節約効果は何か？

主な発見

• 提案されたサブシステム符号は、一般化されたショア符号と同等のパラメータ $[[n_1n_2, k_1k_2, \min(d_1, d_2)]]$ を達成し、同等の誤り保護を保証する。
• 誤り回復に必要な安定化子測定回数は、一般化されたショア符号の $(n_1 - k_1)n_2 + (n_2 - k_2)$ から、サブシステム構成の $(n_1 - k_1)k_2 + k_1(n_2 - k_2)$ にまで削減され、測定のオーバーヘッドが2乗の割合で削減される。
• 冗長符号の $[[n^2, 1, n]]$ 例では、サブシステム版はわずか $2(n-1)$ 回の安定化子測定で済み、一般化されたショア符号の $n^2 - 1$ 回と比較して、$n^2 - 2n + 1$ 回の測定を節約する。
• 2つの $[7,4,3]$ ハミング符号を用いた $[[49,1,5]]$ 例では、サブシステム構成は28〜30回の安定化子測定で済み、連結ステイン符号の48回と比較して18〜20回の測定を削減する。
• この構成は、以前の自己補正量子メモリに関する研究を一般化し、古典的符号から効率的なサブシステム符号を構築する体系的なフレームワークを提供する。
• 結果から、これらのサブシステム符号は、誤り回復ルーチンの複雑さを低減することで、フォールトトレラント量子計算の閾値を顕著に向上させ得ると示唆される。