[論文レビュー] Asymmetric Nondegenerate Geometry

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|May 7, 2002

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非対称な世界関数に基づく非退化で非対称な T-幾何学を提案する。この幾何学的枠組みは、過去と未来を幾何的に区別する。対称的な距離関数の代わりに一般の世界関数 Σ(P,Q) を用いることで、3種類の測地線とチューブ（未来、過去、中立）を導入し、反対称成分のおかげで時間的チューブに有限の長さが与えられる。これは、量子力学の原理を用いずに、量子効果や素粒子の閉じ込めを幾何学的に説明するものである。

ABSTRACT

Nondegenerate geometry (T-geometry) with nonsymmetric world function is considered. In application to the space-time geometry the asymmetry of world function means that the past and the future are not equivalent geometrically. T-geometry is described in terms of finite point subspaces and world function between pairs of points of these subsets, i.e. in the language which is immanent to geometry and free of external means of description (coordinates, curves). Such a description appears to be simple and effective even in the case of complicated T-geometry. Antisymmetric component of the world function generates appearance of additional metric fields. This leads to appearance of three sorts of Christoffel symbols and three sorts of geodesics. Three sorts of the first order tubes (future, past and neutral) appear. If the fields connected with the antisymmetric component are strong enough, the timelike first order tube has a finite length in the timelike direction. It was shown earler that the symmetric T-geometry explains non-relativistic quantum effects without a reference to principles of quantum mechanics. One should expect that nonsymmetric space-time T-geometry is also characteristic for microcosm, and it will be useful in the elementary particle theory, because there is a series of unexpected associations. First order tubes are associated with world tubes of closed strings. Antisymmetry is associated with supersymmetry. Three sorts of tubes are associated with three sorts of quarks. Limitation of the tube in time direction is associated with confinement. At any rate, the space-time T-geometry with additional parameters has more capacities, than usual Riemannian geometry.

研究の動機と目的

• リーマン幾何学の制約（連続性、固定次元、座標依存性など）に依存しない時空の幾何的枠組みを構築すること。
• 非退化で非対称な T-幾何学が、量子力学の原理を用いずに、非相対論的量子効果および素粒子の性質を幾何学的手段だけで説明できるかを検討すること。
• 座標や曲線といった外部の道具を用いずに、世界関数と有限点部分空間のみを用いて、座標に依存しない内挿的記述を確立すること。
• 世界関数の反対称性が追加の計量場を生成し、3種類の測地線およびチューブを生じる仕組みを解明すること。
• 時間的チューブの有限長が、微視的物理学における粒子の閉じ込めと質量の幾何学的解釈に与える影響を検討すること。

提案手法

• 枠組みは、点 P と Q の間の距離 ρ に対して Σ(P,Q) = ½ρ²(P,Q) と定義される世界関数 Σ を用いる。Σ が非対称であることを許容することで、時間反転対称性が破れる。
• 幾何的対象と関係は、座標や曲線を一切用いずに、ユークリッド幾何学における対称的世界関数 Σ_E を一般の Σ に置き換えることで、すべて Σ から導出される。
• Σ の反対称部が追加の計量場を生成し、3つの異なるクリストッフェル記号と3種類の測地線（未来、過去、中立）を生じさせる。
• 有限部分空間およびチューブは Σ を用いて内挿的に定義され、1階のチューブは因果的向き（未来、過去、中立）と反対称性に対する挙動によって分類される。
• この方法により、座標に依存しない記述と絶対的平行移動が可能となり、リーマン幾何学に内在する曲線依存の平行移動に依存しなくなる。
• モデルは、世界関数の非退化性を通じて粒子質量を幾何学的に決定可能であり、外部パrameterを用いずに質量の幾何学的解釈が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T-幾何学における非対称的世界関数が、量子力学の原理を用いずに、非相対論的量子効果を幾何学的に説明できるか。
• RQ2 世界関数の反対称成分が、時空における3種類の測地線およびチューブをどのように生成するか。
• RQ3 有限長時間的チューブの幾何学的起源は何か。また、これは量子場理論における粒子の閉じ込めとどのように関係するか。
• RQ4 非対称 T-幾何学が、固定次元や座標依存性といったリーマン幾何学の制限をどのように克服するか。
• RQ5 世界関数の反対称構造が、超対称性および素粒子理論におけるクォークの3世代構造と結びつけることができるか。

主な発見

• 世界関数の反対称部は、3つの異なるクリストッフェル記号と3種類の測地線（未来、過去、中立）を生じさせ、これらは幾何学的に区別可能である。
• 反対称場が強い場合、時間的1階チューブは時間方向に有限の長さをとる。これは、粒子の閉じ込めの幾何学的起源を示唆する。
• 無限遠における時間的チューブの有限半径は、世界関数の反対称部に起因し、漸近的未来または過去に非ゼロの幾何的構造が存在することを示している。
• この枠組みにより、世界関数の非退化性を通じて粒子質量を幾何学的に決定可能であり、質量の幾何学的解釈が可能となる。
• モデルは、世界関数と有限部分空間のみを用いて、座標や曲線に依存しない内挿的記述を提供し、それらに依存しない。
• 理論は、非退化で非対称な T-幾何学の幾何学的結果として、非相対論的量子効果を自然に説明でき、微視的現象の背後により深い幾何学的基盤があることを示唆する。