[論文レビュー] Asymptotic behavior of CLS estimators for unstable INAR(2) models

Mátyás Barczy, Márton Ispány+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不安定な INAR(2) プロセスにおける条件付き最小二乗（CLS）推定量の漸近的分布を確立し、プロセスの構造的性質に基づいて三つの異なる極限挙動を同定する。主な貢献は、弱収束を用いて平方付き変位過程（Cox–Ingersoll–Ross過程）への収束を示し、古典的な AR(1) 単位根漸近理論とは異なる非標準的極限分布を導出することにある。

ABSTRACT

In this paper the asymptotic behavior of the conditional least squares estimators of the autoregressive parameters $(α,β)$, of the stability parameter $\varrho := α+ β$, and of the mean $μ$ of the innovation $\vare_k$, $k \in \NN$, for an unstable integer-valued autoregressive process $X_k = α\circ X_{k-1} + β\circ X_{k-2} + \vare_k$, $k \in \NN$, is described. The limit distributions and the scaling factors are different according to the following three cases: (i) decomposable, (ii) indecomposable but not positively regular, and (iii) positively regular models.

研究の動機と目的

• 不安定な INAR(2) プロセスにおける自己回帰パラメータ、安定性パラメータ ϱ = α + β、およびノイズ項平均 μ の条件付き最小二乗（CLS）推定量の漸近的挙動を特定すること。
• 分解可能、非分解可能だが正の正則性を満たさない、正の正則性を持つモデルという三つの構造的レジームにおける CLS 推定量の明確な極限分布を同定すること。
• 安定な INAR(p) モデルの既存の漸近理論を、特に p=2 の場合の不安定（単位根）状態に拡張すること。
• スケーリングされたランダムステップ過程の弱収束を、平方付き変位過程（Cox–Ingersoll–Ross過程）に確立すること。これは、移民を伴う連続時間の分岐過程である。
• 臨界的多型分岐過程および不安定な整数値時系列モデルにおける漸近的推論の基盤を提供すること。

提案手法

• INAR(2) モデルにおける自己回帰パラメータ（α, β）、安定性パラメータ ϱ = α + β、およびノイズ項平均 μ の条件付き最小二乗（CLS）推定を用いる：X_k = α∘X_{k-1} + β∘X_{k-2} + ε_k。
• 不安定レジーム下で、INAR(2) プロセスから形成されるスケーリングされたランダムステップ過程の弱収束を、平方付き変位過程（Cox–Ingersoll–Ross過程）に適用する。
• マーティンゲール差配列および関数中心極限定理の技術を用いて、推定量過程の弱収束を導出する。
• 自己回帰多項式の固有値特性に基づいて、極限挙動を分類する：分解可能、非分解可能だが正の正則性を満たさない、正の正則性を持つ。
• 時間変換されたマーティンゲール増分を伴う確率過程の関数的極限定理（定理 C.1）を適用し、拡散過程への収束を証明する。
• 経験的共分散および分散統計量の収束を用いて、異なる構造的仮定下での CLS 推定量の極限分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不安定な INAR(2) プロセスにおける自己回帰パラメータ（α, β）の CLS 推定量の漸近的分布は何か？
• RQ2 安定性パラメータ ϱ = α + β の CLS 推定量の極限分布は、分解可能、非分解可能だが正の正則性を満たさない、正の正則性を持つという三つの構造的レジームにおいてどのように異なるか？
• RQ3 不安定な INAR(2) モデルにおけるノイズ項平均 μ の CLS 推定量の極限挙動は何か？
• RQ4 不安定な INAR(2) モデルにおける CLS 推定量のスケーリング係数および極限分布は、古典的な不安定な AR(1) モデルとどのように比較できるか？
• RQ5 不安定状態下で、INAR(2) プロセスのスケーリングされたパスの弱収束が、平方付き変位過程に厳密に確立できるか？

主な発見

• 分解可能な不安定な INAR(2) モデルでは、(α, β) および ϱ の CLS 推定量は、非退化な極限分布に収束し、その分布は正規分布ではなく、プロセスの連携挙動に依存する。
• 非分解可能だが正の正則性を満たさない場合、ϱ の CLS 推定量の極限分布は非標準的であり、変位過程に関する確率積分の比を含む。
• 正の正則性を持つモデルでは、安定性パラメータ ϱ の CLS 推定量は、∫₀¹ W_t dW_t / ∫₀¹ W_t² dt の形の確率積分の比を含む分布に収束する。これは離散時間の整数値設定における Dickey–Fuller 検定統計量に類似している。
• ノイズ項平均 μ の CLS 推定量は、√n のスケーリング係数を伴い、標準的漸近理論に従って漸近的に正規分布に収束する。
• INAR(2) プロセスから形成されるスケーリングされたランダムステップ関数の極限過程は、平方付き変位過程（Cox–Ingersoll–Ross過程）である。これは弱収束結果を裏付ける。
• 極限分布は、特に分解可能および非分解可能な場合に、古典的な不安定な AR(1) モデルのそれとは根本的に異なる。これは INAR(2) プロセスの離散的性質および薄尾のノイズ項に起因する。