[論文レビュー] Asymptotic behavior of positive solutions to a nonlinear biharmonic equation near isolated singularities

Hui Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$n \geq 5$ および $\frac{n}{n-4} < p < \frac{n+4}{n-4}$ の条件下で、$\mathbb{R}^n$ 内の穴あき球 $B_1 \setminus \{0\}$ における非線形ビアモニック方程式 $\Delta^2 u = u^p$ の正解の漸近的挙動を確立し、孤立特異点が除去可能であるか、または明確なべき則の減衰 $|x|^{-4/(p-1)}$ を示すことを証明した。$-\Delta u$ に関する仮定を避け、高階微分方程式における最大原理の欠如を克服するための新規な正則性上昇法を導入した。

ABSTRACT

In this paper, we consider the asymptotic behavior of positive solutions of the biharmonic equation $$ Δ^2 u = u^p~~~~~~~in ~ B_1 \backslash \{0\}$$ with an isolated singularity, where the punctured ball $B_1 \backslash \{0\} \subset \mathbb{R}^n$ with $n\geq 5$ and $\frac{n}{n-4} &lt; p &lt; \frac{n+4}{n-4}$. This equation is relevant for the $Q$-curvature problem in conformal geometry. We classify isolated singularities of positive solutions and describe the asymptotic behavior of positive singular solutions without the sign assumption for $-Δu$. We also give a new method to prove removable singularity theorem for nonlinear higher order equations.

研究の動機と目的

• $n \geq 5$ および $\frac{n}{n-4} < p < \frac{n+4}{n-4}$ の条件下で、$B_1 \setminus \{0\}$ 内のビアモニック方程式 $\Delta^2 u = u^p$ の孤立特異点を分類すること。
• 符号条件を $-\Delta u$ に課さずに、原点近傍における正の特異解の正確な漸近的挙動を特定すること。
• 非線形高階楕円型方程式における除去可能特異点定理を証明するための新しい手法を開発すること。
• 最大原理や切断技術に依存せずに、回転対称性のない場合の特異解の分類を拡張すること。

提案手法

• ビアモニック作用素のグリーン関数 $G_2(x,y)$ を用いた積分表現に基づく、新規な正則性上昇技術を導入する。
• 非線形項を $L^q$ 空間で制御するため、$a(x) = u^{p-1}$ を大きな部分 $a_L$ と小さな部分 $a_M$ に分解する。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式とホルダーの不等式を適用し、十分大きな $L$ に対して、線形作用素 $T_L w = \int G_2(x,y) a_L(y) w(y) dy$ が $L^q(B_{1/4})$ 上で収縮写像であることを証明する。
• 初期の $L^r$ 積分可能性から出発し、$L^q$ 積分可能性の反復的改善を用いて、すべての $1 < q < \infty$ に対して $u \in L^\infty(B_{1/4})$ を確立する。
• 楕円型正則性理論を適用し、$u$ が原点で滑らかであることを結論づけ、特異点が除去可能であることを示す。
• 明示的な定数 $K_0(p,n)$ を用いて、$C_{p,n} = \left[K_0(p,n)\right]^{1/(p-1)}$ であると導出する。ここで $K_0(p,n)$ は明示的に与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形ビアモニック方程式 $\Delta^2 u = u^p$ の正の解が、$\mathbb{R}^n$ ($n \geq 5$) の原点に孤立特異点を持つ場合、$-\Delta u$ の符号に関する仮定なしに、その漸近的挙動はどのように特定できるか？
• RQ2 最大原理や切断法に依存しないで、非線形4階方程式に対する除去可能特異点定理を証明することは可能か？
• RQ3 特異解の漸近的減衰率は、指数 $p$ と次元 $n$ にどのように依存するか？
• RQ4 回転対称性がない場合においても、ビアモニック方程式の孤立特異点の分類は、よく理解された2階の場合と類似していると見なせるか？

主な発見

• 正の特異解の漸近的挙動は $\lim_{|x| \to 0} |x|^{4/(p-1)} u(x) = C_{p,n} > 0$ であり、$C_{p,n} = \left[K_0(p,n)\right]^{1/(p-1)}$ である。ここで $K_0(p,n)$ は $p-1$ の4次式として明示的に与えられる。
• 原点における特異点は、除去可能であるか、$u$ は $C_{p,n} |x|^{-4/(p-1)}$ のように振る舞う。$-\Delta u$ に関する追加仮定は不要である。
• 本稿は、最大原理や切断技術に依存しない高階非線形方程式に対する除去可能特異点定理を証明するための新規な手法を提供する。
• 解 $u$ がすべての $1 < q < \infty$ に対して $L^q(B_{1/4})$ に属することを示し、楕円型正則性理論により $u$ が原点で滑らかであることが導かれる。これにより特異点は除去可能である。
• 本結果は、回転対称性がない場合でも、2階の場合と類似した形で特異解の分類をビアモニック方程式に拡張している。
• 本手法は、4階方程式における最大原理の欠如を、積分推定と反復的 $L^q$ ブートストラップによって効果的に処理している。