[論文レビュー] Asymptotic behavior of solutions to Schrödinger equations near an isolated singularity of the electromagnetic potential

Veronica Felli, Alberto Ferrero+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、磁気的ポテンシャルが一様で次数−1、電気的ポテンシャルが次数−2である特異な電磁ポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式の解の漸近的挙動を、Almgren型の単調性公式、変数分離法、反復的Brezis-Kato手続きを用いて分析する。主な結果として、孤立特異点近傍における解の正確な爆発率と方位角依存性が特定され、ベクトルポテンシャルが分布的意味で回転がゼロであるとき、磁気的ポテンシャルが第一固有値に影響しないことが示されている。

ABSTRACT

Asymptotics of solutions to Schroedinger equations with singular magnetic and electric potentials is investigated. By using a Almgren type monotonicity formula, separation of variables, and an iterative Brezis-Kato type procedure, we describe the exact behavior near the singularity of solutions to linear and semilinear (critical and subcritical) elliptic equations with an inverse square electric potential and a singular magnetic potential with a homogeneity of order -1.

研究の動機と目的

• 特異な逆二乗電気的ポテンシャルおよび一様な磁気的ポテンシャルを伴う線形および半線形シュレーディンガー方程式の解の正確な漸近的挙動を理解すること。
• 特異な磁気的ポテンシャルが孤立特異点近傍における解の正則性および減衰に与える影響を特徴づけること。
• 古典的なHardy不等式およびKato級数ポテンシャルに関する結果を、Kato級数に属さない特異な電磁場の状況に拡張すること。
• 特異な磁気的および電気的ポテンシャルが存在する状況下でのシュレーディンガー作用素に関連する方位角作用素の変分的およびスペクトル的性質を確立すること。

提案手法

• 特異点近傍におけるエネルギー密度の増大を制御するためのAlmgren型単調性公式の適用。
• 球座標系における変数分離を用いて、問題を球面上の方位角固有値問題 $\mathbb{S}^{N-1}$ に還元すること。
• 特異ポテンシャルが存在する状況下で解の可積分性および正則性を向上させる反復的Brezis-Kato型手続きの使用。
• 球面上の作用素 $L_{\mathbf{A},a}$ の第一固有値 $\mu_1(\mathbf{A},a)$ の変分的特徴づけ。
• 有界性を仮定した場合に、磁気的ソボレフ空間 $H^1_{\mathbf{A}}(\mathbb{S}^{N-1})$ と標準的 $H^1(\mathbb{S}^{N-1}, \mathbb{C})$ が等価であることを証明すること。
• 原点付近の挙動を制御するための境界項を含むHardy型不等式（Wang-Zhu）の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁ポテンシャルに逆二乗電気的ポテンシャルと次数−1の一様磁気的ポテンシャルを含むシュレーディンガー方程式の解は、孤立特異点近傍でどのように振る舞うか？
• RQ2 特異点近傍における解の正確な漸近展開は何か？また、磁気的ポテンシャルは爆発率および方位角依存性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 磁気的ポテンシャルが方位角作用素の第一固有値に影響を与えない条件は何か？また、$\mu_1(\mathbf{A},a) = \mu_1(0,a)$ が成立する条件は？
• RQ4 古典的なKato級数の仮定を、Kato級数に属さない特異な磁気的ポテンシャルを含む状況にまで緩和可能か？しかし、依然として正則性および一意的拡張性が保証されるか？
• RQ5 磁気的ポテンシャルが分布的意味で回転がゼロであるとき、磁気的および非磁気的方位角作用素の第一固有値が等しくなることとの関係は何か？

主な発見

• 特異点近傍における解の漸近的挙動は、球面上の作用素 $L_{\mathbf{A},a}$ の第一固有値 $\mu_1(\mathbf{A},a)$ によって支配され、解は $|x|^{\lambda_1}$ に球面調和関数を乗じた形で振る舞う。ここで $\lambda_1$ は $\mu_1(\mathbf{A},a)$ によって定まる。
• 磁気的ポテンシャルが $\operatorname{curl}(\mathbf{A}/|x|) = 0$ である分布的意味で満たされるとき、第一固有値 $\mu_1(\mathbf{A},a)$ は $\mu_1(0,a)$ に等しくなる。これは、このような磁気的場が支配的漸近挙動に影響しないことを示している。
• 磁気的ポテンシャル $\mathbf{A}$ は、第一固有関数の位相から $\mathbf{A}(\theta) = -\Im(\nabla_{\mathbb{S}^{N-1}}\psi_1(\theta)/\psi_1(\theta))$ として、球面 $\mathbb{S}^{N-1}$ 上 almost everywhere で回復可能である。
• 有界性を仮定した場合、空間 $H^1_{\mathbf{A}}(\mathbb{S}^{N-1})$ は標準的 $H^1(\mathbb{S}^{N-1}, \mathbb{C})$ と等価であり、Sobolev埋没およびコンパクト埋没の有効性が保証される。
• 境界項を含むHardy型不等式が成り立つ：$\int_{B_r} |\nabla u|^2 dx + \frac{N-2}{2r} \int_{\partial B_r} |u|^2 dS \geq \left(\frac{N-2}{2}\right)^2 \int_{B_r} \frac{|u|^2}{|x|^2} dx$。これは原点付近における特異重みを制御する。
• 方位角作用素 $L_{\mathbf{A},a}$ のスペクトルは、有限重複度をもつ離散的かつ発散する実固有値の列から成り、第一固有値は球面上のRayleigh商による変分的特徴づけを満たす。