[論文レビュー] Partial Data Inverse Problems for Nonlinear Magnetic Schrödinger Equations

Ru-Yu Lai, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界の部分測定によるDirichlet-to-Neumann写像から非線形磁気的および電気的ポテンシャルの一意的回復を確立する。高次線形化と境界の一部で消える調和関数の積の密度に関する議論を用いて、著者らは次元 $ n \geq 2 $ において、ベクトルポテンシャル $ A(x,z) $ とスカラー ポテンシャル $ q(x,z) $ が部分Dirichlet-to-Neumannデータによって一意に決定されることを証明する。

ABSTRACT

We prove that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map, measured on a part of the boundary of a bounded domain in $\mathbb{R}^n, n\geq2$, can uniquely determine, in a nonlinear magnetic Schrödinger equation, the vector-valued magnetic potential and the scalar electric potential, both being nonlinear in the solution.

研究の動機と目的

• 非線形磁気的シュレーディンガー方程式の逆境界値問題を、境界の部分測定データを用いて取り扱う。
• 境界の一部で測定されたDirichlet-to-Neumann写像から、非線形ベクトルポテンシャル $ A(x,z) $ とスカラー ポテンシャル $ q(x,z) $ を一意に特定する。
• 完全に非線形なポテンシャルを持つ非線形磁気的シュレーディンガー方程式へ、高次線形化技術を拡張する。
• 境界の部分データを含む最小限のデータ仮定のもとで一意性結果を確立し、調和関数の積の密度性を活用する。
• 線形および半線形方程式に対する既存の逆問題結果を、ゲージ不変構造を持つ非線形磁気的ケースへ一般化する。

提案手法

• 複数の境界データ関数を用いてゼロ解の周りの小さな摂動を考察することで、Dirichlet-to-Neumann写像の高次線形化を適用する。
• 解変数 $ z $ に関してポテンシャル $ A(x,z) $ と $ q(x,z) $ の正則性を用いて、$ z $ についてのテイラー展開を行う。
• $ m $ 階の非線形項 $ A $ と $ q $ を含む積分恒等式を導出し、$ m+1 $ 個の調和関数またはその微分の積と対応付ける。
• 境界の閉じた真部分集合で消える調和関数の積の $ L^p $ 空間における密度性を、ランゲ型近似と一意拡張性に依拠して確立する。
• 最大原理と小刻みの伝播推定（カシワラの「ミカンの種」定理にインspired）を用いて、このような積の $ L^p $ における密度性を確立する。
• 線形化系から生じる非線形固定点問題を解くためにコーシーの縮小写像定理を適用し、$ W^{2,p} $ 内での解の存在性と正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分境界測定によるDirichlet-to-Neumann写像から、非線形磁気的ポテンシャル $ A(x,z) $ と電気的ポテンシャル $ q(x,z) $ は一意に回復可能か？
• RQ2 高次線形化技術は、解に完全な非線形性を持つ非線形磁気的シュレーディンガー方程式へどのように拡張可能か？
• RQ3 部分データからの非線形項の一意的同定に必要な調和関数の積の密度的性質は何か？
• RQ4 磁場 $ \operatorname{curl} A $ のゲージ不変性は、非線形設定における回復の一意性にどの程度影響を及えるか？
• RQ5 本手法は、解変数 $ z $ に関して正則な非線形性（特にべき関数型でないもの）に対しても適応可能か？

主な発見

• 非線形ベクトルポテンシャル $ A(x,z) $ とスカラー ポテンシャル $ q(x,z) $ は、境界の任意の相対的開部分集合で測定されたDirichlet-to-Neumann写像によって一意に決定される。
• 一意性結果は次元 $ n \geq 2 $ に対して成り立ち、以前の線形の場合から完全に非線形な磁気的シュレーディンガー方程式への拡張を実現する。
• 本手法は、DN写像の高次線形化と、境界の一部で消える $ m+1 $ 個の調和関数の積の $ L^p $ における密度性に依存する。
• 主な技術的貢献は、境界の正の測度部分集合で消える調和関数およびその勾配の積の密度性の証明である。
• 非線形Dirichlet問題の解は存在し、$ W^{2,p} $ に属する。そのバインドは境界データノルムに対して線形に依存する。
• 全境界データの場合は特殊ケースとして回復され、境界データ集合を全境界にとることで、同じ議論により一意性が導かれる。