[論文レビュー] Asymptotic Behavior of Stochastic Wave Equations with Critical Exponents on R^3

Bixiang Wang|ArXiv.org|Oct 11, 2008

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非有界領域 $\mathbb{R}^3$ 上の臨界的立方非線形性を有する減衰付き確率的波動方程式に対して、$H^1(\mathbb{R}^3)\times L^2(\mathbb{R}^3)$ における確率的アトラクターの存在を確立する。非有界領域におけるコンパクト埋め込みの欠如を補うために、解の均一な尾部推定とエネルギー方程式法を組み合わせることで、プルバック漸近的コンパクト性を証明し、非コンパクト性と臨界的成長の課題にもかかわらず、確率的アトラクターの存在を示している。

ABSTRACT

The existence of a random attractor in H^1(R^3) imes L^2(R^3) is proved for the damped semilinear stochastic wave equation defined on the entire space R^3. The nonlinearity is allowed to have a cubic growth rate which is referred to as the critical exponent. The uniform pullback estimates on the tails of solutions for large space variables are established. The pullback asymptotic compactness of the random dynamical system is proved by using these tail estimates and the energy equation method.

研究の動機と目的

• 非有界領域 $\mathbb{R}^3$ 上の臨界的立方非線形性を有する確率的波動方程式に対して、確率的アトラクターの存在を確立すること。
• すべての $p<6$ に対して非コンパクトとなる埋め込み $H^1(\mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^3)$ の課題に対処すること。
• 非有界領域におけるコンパクト性の欠如にもかかわらず、方程式によって生成される確率的力学系のプルバック漸近的コンパクト性を証明すること。
• 有界領域や亜臨界的非線形性にとどまらない、臨界的成長と非有界空間領域を含む確率的アトラクター理論を拡張すること。

提案手法

• 非有界領域 $\mathbb{R}^3$ に起因する非コンパクト性を制御するため、解の空間変数が大きい場合における均一な尾部推定法を用いる。
• ボールが開発したエネルギー方程式法を、確率的かつ非有界な設定に適応して漸近的コンパクト性を確立する。
• 確率的偏微分方程式を加法的ノイズを有する確率的偏微分方程式に変換する変数変換を用い、確率的力学系理論の適用を可能にする。
• 時間に依存せず、すべての $\omega$ について全測度集合に属する $P$-ほとんど everywhere に対して成り立つ、$H^1(\mathbb{R}^3)\times L^2(\mathbb{R}^3)$ 内の解の尾部に関する均一推定を導出する。
• 解の無限遠における減衰を利用するべく、プルバック極限過程を用いて $H^1(\mathbb{R}^3)\times L^2(\mathbb{R}^3)$ 内で軌道の列挙的コンパクト性を示す。
• 閉じた吸引集合の性質とプルバック漸近的コンパクト性を組み合わせることで、標準的な確率的力学系理論に基づき、確率的アトラクターの存在を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域 $\mathbb{R}^3$ 上の臨界的立方非線形性を有する確率的波動方程式に対して、確率的アトラクターは存在するか？
• RQ2 すべての $p$ に対して非コンパクトとなる埋め込み $H^1(\mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^3)$ の下で、$H^1(\mathbb{R}^3)\times L^2(\mathbb{R}^3)$ 内で漸近的コンパクト性を確立できるか？
• RQ3 エネルギー方程式法は、臨界的非線形性を有する非有界領域上の確率的波動方程式に適応可能か？
• RQ4 解の均一な尾部推定は、$\mathbb{R}^3$ 上の確率的偏微分方程式の漸近的解析における非コンパクト性の欠如を補うためにどのように用いることができるか？
• RQ5 臨界的成長条件下の下で、確率的波動方程式によって生成される確率的力学系は、$H^1(\mathbb{R}^3)\times L^2(\mathbb{R}^3)$ 内でプルバック漸近的コンパクト性を示すか？

主な発見

• この論文は、臨界的非線形性を有する確率的波動方程式に対して、$H^1(\mathbb{R}^3)\times L^2(\mathbb{R}^3)$ 内に一意の $\mathcal{D}$-確率的アトラクター $\{\mathcal{A}(\omega)\}_{\omega\in\Omega}$ の存在を証明する。
• 解の均一な尾部推定が確立され、$|x|\to\infty$ のとき解が空間的に一様に減衰することが示され、時間に依存せず、$P$-ほとんど everywhere な $\omega\in\Omega$ に対して一様に成り立つ。
• 確率的力学系が $H^1(\mathbb{R}^3)\times L^2(\mathbb{R}^3)$ 内で $\mathcal{D}$-プルバック漸近的コンパクトであることが示され、これは確率的アトラクターの存在を証明するための鍵となるステップである。
• 埋め込み $H^1(\mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^3)$ の非コンパクト性を、尾部推定とエネルギー方程式法を組み合わせることで克服した。
• 従来のコンパクト埋め込みに依存する手法が失敗する非有界領域における臨界的成長を有する確率的波動方程式に対しても、この手法により確率的アトラクター理論が成功裏に拡張された。
• 結果は、空間領域におけるコンパクト性の欠如にもかかわらず、システムの長期的確率的ダイナミクスを確率的アトラクターが捉えていることを確認する。