[論文レビュー] Sufficient and Necessary Criteria for Existence of Pullback Attractors for Non-compact Random Dynamical Systems

Bixiang Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 38被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、決定的および確率的外力の両方を受ける非自己同型で非コンパクトな確率的力学系におけるプルバック吸引点の存在について、十分かつ必要十分な条件を確立する。非有界領域における非コンパクト性を克服するため、二パラメータのコサイクルフレームワークとテイル推定技術を導入することで、著者らは $\mathbb{R}^n$ 上の反応拡散方程式に対して一意なプルバック吸引点の存在を証明し、さらに適切な条件下で周期的決定的外力が周期的プルバック吸引点を誘導することを示す。

ABSTRACT

We study pullback attractors of non-autonomous non-compact dynamical systems generated by differential equations with non-autonomous deterministic as well as stochastic forcing terms. We first introduce the concepts of pullback attractors and asymptotic compactness for such systems. We then prove a sufficient and necessary condition for existence of pullback attractors. We also introduce the concept of complete orbits for this sort of systems and use these special solutions to characterize the structures of pullback attractors. For random systems containing periodic deterministic forcing terms, we show the pullback attractors are also periodic. As an application of the abstract theory, we prove the existence of a unique pullback attractor for Reaction-Diffusion equations on $\R^n$ with both deterministic and random external terms. Since Sobolev embeddings are not compact on unbounded domains, the uniform estimates on the tails of solutions are employed to establish the asymptotic compactness of solutions.

研究の動機と目的

• 非自己同型で非コンパクトな確率的力学系に、決定的および確率的外力が作用する場合のプルバック吸引点の存在に関する十分かつ必要十分な条件を確立すること。
• このような系における ${{\mathcal{D}}}$-完全軌道の概念を導入し、それらを用いて ${{\mathcal{D}}}$-プルバック吸引点の構造を特徴付けること。
• 決定的外力が周期的である場合に、プルバック吸引点が周期的になる条件を調査し、理論を確率的周期吸引点へと拡張すること。
• 抽象的枠組みを反応拡散方程式 $\mathbb{R}^n$ 上に適用し、一意なプルバック吸引点の存在を証明すること。

提案手法

• 決定的外力のための $\Omega_1$ と確率的外力のための $\Omega_2$ の上に、二パラメータのコサイクルフレームワークを導入し、古典的な確率的および非自己同型決定的コサイクルを一般化する。
• $\Omega_1$ と $\Omega_2$ の両方の上での ${{\mathcal{D}}}$-プルバック吸引集合、${{\mathcal{D}}}$-プルバック漸近的コンパクト性、および ${{\mathcal{D}}}$-プルバック吸引点を、この拡張された設定で定義する。
• 非有界領域におけるソボレフ埋め込みのコンパクト性の欠如を補うために、解の均一なテイル推定を用い、漸近的コンパクト性を保証する。
• $\mathcal{D}$-完全軌道を、プルバックの意味で有界なままとなるグローバル解として構成し、それらを用いて吸引点の構造を特徴付ける。
• 周期的決定的外力のもとでコサイクルが周期的であることを示し、$\mathcal{D}_\lambda$ の族の変換不変性を用いてプルバック吸引点の周期性を証明する。
• 反応拡散方程式 $\mathbb{R}^n$ に非線形のドリフト、決定的外力 $g$、乗法的ノイズ $h\,d\omega$ を適用し、抽象的結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己同型で非コンパクトな確率的力学系に、決定的および確率的外力が作用する場合、プルバック吸引点の存在に関する十分かつ必要十分な条件は何か？
• RQ2 このような系において、${{\mathcal{D}}}$-完全軌道を用いてプルバック吸引点の構造をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 決定的外力が周期的である場合、どのような条件下でプルバック吸引点が周期的になるか？
• RQ4 抽象的理論を用いて、非有界領域 $\mathbb{R}^n$ 上の反応拡散方程式に対してプルバック吸引点の存在を証明できるか？

主な発見

• 二パラメータコサイクルを有する確率的力学系に対して、${{\mathcal{D}}}$-プルバック吸引点の存在に関する十分かつ必要十分な条件が確立された。
• $\mathcal{D}$-プルバック吸引点は、すべての $\mathcal{D}$-完全軌道の和集合として特徴付けられ、決定的系における特徴付けを確率的系へと拡張した。
• 周期 $T$ の決定的外力 $g$ に対して、系が必要な変換不変性および減衰条件を満たす限り、プルバック吸引点も周期 $T$ で周期的である。
• 非線形ドリフト、決定的外力 $g$、乗法的ノイズを有する反応拡散方程式は、一意な ${{\mathcal{D}}}_\lambda$-プルバック吸引点を有する。
• 非有界領域におけるソボレフ埋め込みの非コンパクト性を補うために、解の均一なテイル推定が十分であり、漸近的コンパクト性の確立に寄与する。
• 外力関数の平行移動に対してプルバック吸引点の構造が保存され、吸引点は軌道閉包 $\Omega_g$ または $\Omega_g^T$ 上でのコサイクルを用いて同値に記述可能である。