[論文レビュー] Asymptotic behaviour of first passage time distributions for Lévy processes

R. A. Doney, Víctor Rivero|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、安定分布の吸引域に属する Lévy 確率過程の最初の通過時刻分布について、連続的通過と不連続的通過のタイプを区別する鋭い漸近的推定を確立する。$\mathbb{P}_x$ における最初の通過時刻の密度に関する局所極限定理を導出し、漸近的挙動が安定指数 $\alpha$、正のパラメータ $\rho$、ラッダーヒールド過程における正のドリフトの有無に依存することを示す。収束速度はスケーリング関数 $c(t)$ と、ゼロにおける極限安定分布の密度に依存する。

ABSTRACT

Let $X$ be a real valued Lévy process that is in the domain of attraction of a stable law without centering with norming function $c.$ As an analogue of the random walk results in \cite{vw} and \cite{rad} we study the local behaviour of the distribution of the lifetime $ζ$ under the characteristic measure $\underline{n}$ of excursions away from 0 of the process $X$ reflected in its past infimum, and of the first passage time of $X$ below $0,$ $T_{0}=\inf \{t>0:X_{t}<0\},$ under $\mathbb{P}_{x}(\cdot),$ for $x>0,$ in two different regimes for $x,$ viz. $x=o(c(\cdot))$ and $x>D c(\cdot),$ for some $D>0.$ We sharpen our estimates by distinguishing between two types of path behaviour, viz. continuous passage at $T_{0}$ and discontinuous passage. In the way to prove our main results we establish some sharp local estimates for the entrance law of the excursion process associated to $X$ reflected in its past infimum.

研究の動機と目的

• 実数値の Lévy 確率過程が安定分布の吸引域に属する場合、そのゼロ未満への最初の通過時刻分布の局所的漸近的挙動を分析すること。
• 最初の通過時刻における経路のタイプ（連続的通過と不連続的通過）を区別すること。これは、経路の挙動が異なる分布的性質をもたらすからである。
• 特に $x = o(c(t))$ および $x > Dc(t)$（$D > 0$）の領域において、$\mathbb{P}_x$ における最初の通過時刻の密度に関する鋭い局所極限定理を確立すること。また、特徴的測度 $\underline{n}$ におけるギャップの寿命に対しても同様の解析を行うこと。
• 極限安定分布の密度のゼロにおける値 $f(0)$ とスケーリング関数 $c(t)$ を組み込んだ、最初の通過時刻の密度の正確な漸近的表現を導出すること。

提案手法

• 著者たちは、フラクチュエーション理論およびラッダープロセスの理論を用い、下向きラッダーヒールド過程 $H^*$ 及びその関連スケール関数 $U^*$ に注目する。
• 連続的通過（$C_0$）と不連続的通過の寄与を分離するために、経路タイプを区別するイベント $C_0 = \{X(T_0-) = 0\}$ を用いる。
• この分析は、過去の下界における反射過程のエクストリーム過程の入門分布に関する鋭い局所的推定に依存し、スケーリング関数 $c(t)$ と $\underline{n}(\zeta > t)$ の正規変動的挙動に依存する。
• 重要な推定には、ラッダーヒールド分布の密度 $g^*$ と、エクストリーム測度の局所的挙動を捉える関数 $\theta(s,y)$ の使用が含まれる。
• 著者たちは、$\underline{n}(\zeta > t)$ が指数 $-\overline{\rho}$ で正規変動的であるという事実を、最初の通過時刻密度の漸近的挙動に結びつけるために、タウーバー型およびアーベル型定理を適用する。
• 2次元ラッダープロセスの関数極限定理を用いて、最初の通過時刻密度の漸近的挙動を導出し、特に $\alpha\overline{\rho} < 1$ および $\alpha\overline{\rho} = 1$ の場合を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間 $t \to \infty$ のとき、安定分布の吸引域に属する Lévy 確率過程の最初の通過時刻分布は、どのように漸近的に振る舞うか。特に $x = o(c(t))$ および $x > Dc(t)$ の場合に注目する。
• RQ2 最初の通過時刻における経路タイプ（連続的通過と不連続的通過）が、$T_0$ の密度の存在性およびその形に果たす役割は何か。
• RQ3 最初の通過時刻密度の漸近的挙動は、極限安定分布のゼロにおける密度 $f(0)$ とスケーリング関数 $c(t)$ にどのように依存するか。
• RQ4 ラッダーヒールド過程に正のドリフト（$d^* > 0$）がある場合、最初の通過時刻密度の正確な漸近的挙動は何か。また、$d^* = 0$ の場合とどのように異なるか。
• RQ5 $\alpha\overline{\rho} = 1$ の場合、最初の通過時刻密度の正確な漸近的形は何か。また、定数 $k_6 k_7$ とどのように関係するか。

主な発見

• $X \in D(\alpha, \rho)$ かつ $\alpha\overline{\rho} < 1$ のとき、最初の通過時刻密度は $t \mathbb{P}_x(T \in (t, t+\Delta]) \sim \Delta k_6 \tilde{h}_{x_t}(1)$ を満たす。ここで $\tilde{h}_{x_t}(1)$ は、時間 1 における極限安定分布の密度である。
• $\alpha\overline{\rho} = 1$ のとき、漸近的挙動は $t \mathbb{P}_x(T \in (t, t+\Delta]) \sim \Delta k_6 k_7 \tilde{h}_{x_t}(1)$ である。$d^* > 0$ の場合、$k_6 k_7 = p = d^*/(d^* + L(\infty))$ であり、$d^* = 0$ の場合、$k_6 k_7 = 1$ である。
• 最初の通過時刻の密度は存在し、不連続的通過では $k_6 \tilde{h}_{x_t}(1)$ と漸近的に同値である。一方、連続的通過では $d^* > 0$ の場合に特異的になり得るため、別個の取り扱いが不可欠である。
• 反射過程の入門分布に関する鋭い推定を用いて、$\underline{n}$ におけるギャップ寿命 $\zeta$ の漸近的挙動は $\underline{n}(\zeta > t) \in RV(-\overline{\rho})$ を満たし、局所的挙動が導出される。
• $k_6$ は $k_6 \sim C \cdot \frac{U^*(c(t))}{c(t) \underline{n}(\zeta > t)}$ を満たすことが示され、ここで $U^*$ はラッダーヒールド過程のスケール関数である。
• 本稿は、$\Pi((-∞, 0)) > 0$ のとき、$t \to \infty$ において $th_x(t) \to p \tilde{h}_{x_t}(1)$ が $x_t \in [D^{-1}, D]$ に対して一様に成り立つことを確認し、最初の通過時刻密度の関数極限定理を確立する。