[論文レビュー] Asymptotic cohomology vanishing and a converse to the Andreotti-Grauert theorem on surfaces

Shin‐ichi Matsumura|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、射影的曲面上でのAndreotti-Grauertの消滅定理の逆を確立し、線分束がq正であることが、ちょうどそのコhomologically q-ampleであることと同値であることを証明する。コンパクト複素曲面上でのMonge-Ampère方程式の解と曲率解析を用いて、漸近的コhomologyの消滅がq正曲率を意味することを示し、Demaillyの正則Morse不等式の結果を拡張し、次元2におけるq ≥ 1の状況で未解決であった問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we study relations between positivity of the curvature and the asymptotic behavior of the higher cohomology group for tensor powers of a holomorphic line bundle. The Andreotti-Grauert vanishing theorem asserts that partial positivity of the curvature implies asymptotic vanishing of certain higher cohomology groups. We investigate the converse implication of this theorem under various situations. For example, we consider the case where a line bundle is semi-ample or big. Moreover, we show the converse implication holds on a projective surface without any assumptions on a line bundle.

研究の動機と目的

• コhomological q-ample性がq正性を含意するかどうかという未解決問題を解消する。これはAndreotti-Grauert定理の逆である。
• コンパクト複素曲面上での漸近的コhomologyの消滅と曲率正性の間の明確な関係を確立する。
• 複素幾何学における半正則および大きな線分束のq正性の特徴づけを一般化する。
• 射影的曲面上でのAndreotti-Grauert定理に対する正確な逆定理を確立し、正則Morse不等式によるDemaillyの部分的逆定理を補完する。

提案手法

• グローバルMonge-Ampère方程式の解を用いて、曲率を制御できる特異計量の滑らかな近似を構成する。
• 擬・シュレーディンガー関数と特異計量の理論を適用し、線分束の非-ample部分集合を分析する。
• 2つの擬・シュレーディンガー関数の最大値の下平均性に関する重要な補題を用いて、曲率正性を保つ。
• 多様体を2つの領域に分解して線分束の曲率を分析する：1つは計量が滑らかで、もう1つは特異的だが制御可能。
• 局所的な曲率推定とグローバルな位相的制約を組み合わせ、全曲面上でのq正性を証明する。
• 非-ample部分集合の構造とその余次元に依存して、曲率形式が少なくとも(n−q)個の正の固有値を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的曲面上の正則線分束について、コhomological q-ample性はq正性を含意するか？
• RQ2 線分束に追加の仮定を課さずに、Andreotti-Grauertの消滅定理の逆を確立できるか？
• RQ3 高次のコhomology群の漸近的挙動は、曲面上の線分束の曲率とどのように関係するか？
• RQ4 非-ample部分集合の影響は、線分束の曲率正性にどの程度及ぶか？
• RQ5 この結果は、同じ設定下でDemaillyの正則Morse不等式の逆定理とどのように比較できるか？

主な発見

• 滑らかな射影的曲面上で、線分束がコhomologically q-ampleであることとq正であることとは同値であり、Andreotti-Grauert定理の完全な逆が得られる。
• 証明は、Monge-Ampère方程式の解を用いて曲率を制御する特異計量を構成することに依存し、これによりq正性が全曲面上で保証される。
• コンパクト複素多様体上の半正則線分束について、q正性は関連する準同型写像のファイバー次元が高々qであることと同値である。
• 非-ample部分集合の次元が≤ qであれば、他の仮定がなくても線分束は自動的にq正性を有する。
• Demaillyの正則Morse不等式の逆定理を強化し、次元2においてAndreotti-Grauert定理の正確な逆定理を確立した。
• q-ample性とq正性の同値性は、線分束が大であるか半正則であるかを仮定しなくても成立するため、曲面上では結果が鋭い。