[論文レビュー] Asymptotic density of Motzkin numbers modulo small primes

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モツキン数の剰余の構造的特徴づけを用いて、小さな素数（2, 3, 4, 5, 8）を法とするモツキン数の漸近的密度を確立する。基数-q 展開で定義される集合と漸近的密度定理を適用することで、正確な密度が導かれる：偶数のモツキン数の密度は 1/3、5 で割り切れるものの密度は 1/10、3 で割り切れるものの密度は 1 である。

ABSTRACT

We establish the asymptotic density of the Motzkin numbers modulo small primes.

研究の動機と目的

• 小さな素数および素数のべき（特に 2, 3, 4, 5, 8）を法とするモツキン数の漸近的密度を特定すること。
• 先行研究におけるモツキン数の剰余に関する知見を拡張し、各剰余類の自然密度を定量的に評価すること。
• モツキン数列における 0 に合同な項や他の合同類の出現頻度に関する未解決問題を解消すること。
• 再帰的剰余構造と基数-q 展開に基づく、漸近的密度を計算する体系的な手法を提供すること。

提案手法

• 先行研究から得られた小さな素数および素数のべきを法とするモツキン数の剰余の構造的特徴づけを用いる。
• 定理 1 を適用して、$ S(q,r,s,t) = \{ (qi + r)q^{sj + t} \} $ の形をした集合の漸近的密度を計算する。ここで $ q, s > 0 $、$ t \geq 0 $、$ 0 \leq r < q $ である。
• このような集合の漸近的密度が $ (q^{t+1-s}(q^s - 1))^{-1} $ に等しいことを導出し、剰余類の密度計算を可能にする。
• 先行研究（Deutsch, Sagan, Eu, Liu, Yeh, Krattenthaler, Müller, Rowland-Yassawi）の結果に基づき、$ M_n \equiv r \mod m $ を満たす $ n $ の特定の形に密度の公式を適用する。
• 基数 3 で 0 と 1 のみからなる桁を持つ数の集合が漸近的密度 0 を持つことを利用し、$ M_n \equiv 0 \mod 3 $ がほとんど常に成り立つことを示す。
• 互いに素な剰余類を組み合わせ、密度の加法性を適用して、それぞれ 2, 3, 4, 5, 8 を法とする全密度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 を法とするモツキン数で 0 に合同であるものの漸近的密度は何か？
• RQ2 3 を法とするモツキン数で 0 に合同であるものの漸近的密度は何か？
• RQ3 4, 5, 8 を法とするモツキン数の漸近的密度、特に各剰余類についての密度は何か？
• RQ4 小さな素数を法とするモツキン数の密度は、カタラン数のそれとどのように比較できるか？
• RQ5 基数-q 展開から導かれる構造的形を用いて、小さな素数を法とするモツキン数の漸近的密度を計算できるか？

主な発見

• 2 で割り切れるモツキン数の漸近的密度は $ \frac{1}{3} $ であり、密度 $ \frac{1}{12} $ の互いに素な 4 つの剰余類の合計から得られる。
• 8 を法として 4 に合同であるモツキン数の漸近的密度は $ \frac{1}{6} $ であり、そのうちの 2 つの剰余類に対応する。
• 8 を法として 2 または 6 に合同であるモツキン数の漸近的密度はそれぞれ $ \frac{1}{12} $ であり、これは 1 ビットの分布が均等であることに起因する。
• 5 で割り切れるモツキン数の漸近的密度は $ \frac{1}{10} $ であり、4 つの互いに素な形からの寄与（密度 $ \frac{1}{24} $ の 2 つと密度 $ \frac{1}{120} $ の 2 つ）によって得られる。
• 3 で割り切れるモツキン数の漸近的密度は 1 である。なぜなら、$ M_n \not\equiv 0 \mod 3 $ を満たすインデックスの集合が密度 0 を持つからである。
• 8 を法として 0 に合同であるインデックスの集合の漸近的密度は 0 である。これは、Rowland と Yassawi の結果（0 は 8 を法とする禁止剰余である）と整合的である。