[論文レビュー] Asymptotic Distributions of the Overshoot and Undershoots for the Lévy Insurance Risk Process in the Cramér and Convolution Equivalent Cases

Philip S. Griffin, Ross Maller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Probability and Risk Models参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Cramér 条件および畳み込み同等条件の下で、Lévy 保険リスク過程におけるオーバーシュートとアンダーシュートの漸近的分布を導出し、特定のパラメータが一致する場合に、二つのモデル間に驚くべき解析的同等性が生じることを明らかにした。主な貢献は、中程度の厚尾性を持つ畳み込み同等モデルが、軽尾性の Cramér モデルへ滑らかに移行することを示したことであり、リスク理論における二大アプローチを統合し、保険リスク過程のモデリングの柔軟性を高めた。

ABSTRACT

Recent models of the insurance risk process use a Lévy process to generalise the traditional Cramér-Lundberg compound Poisson model. This paper is concerned with the behaviour of the distributions of the overshoot and undershoots of a high level, for a Lévy process which drifts to $-\infty$ and satisfies a Cramér or a convolution equivalent condition. We derive these asymptotics under minimal conditions in the Cramér case, and compare them with known results for the convolution equivalent case, drawing attention to the striking and unexpected fact that they become identical when certain parameters tend to equality. Thus, at least regarding these quantities, the "medium-heavy" tailed convolution equivalent model segues into the "light-tailed" Cramér model in a natural way. This suggests a usefully expanded flexibility for modelling the insurance risk process. We illustrate this relationship by comparing the asymptotic distributions obtained for the overshoot and undershoots, assuming the Lévy process belongs to the "GTSC" class.

研究の動機と目的

• プロセスの平均が −∞ に発散する場合の Lévy 保険リスク過程におけるオーバーシュートおよびアンダーシュートの漸近的挙動を分析すること。
• 最小限の仮定のもとで Cramér 条件の下での正確な漸近的分布を導出すること。
• Cramér 条件の下での結果を畳み込み同等モデルの結果と比較し、構造的類似性を強調すること。
• 従来、別個のモデルと見なされてきた二つのモデルが、パラメータが等しい場合に分布形として同一になることを示し、統一的なモデリング枠組みの可能性を示唆すること。
• Cramér モデルと畳み込み同等モデルの関係を自然に結ぶことで、Lévy プロセスの GTSC クラスを拡張すること。

提案手法

• Lévy-Khintchine 表現を用いて、三重組 (γ, σ², Π_X) による Lévy プロセスの特徴づけを行う。
• ruin 確率の指数的減少を保証するため、ある ν₀ > 0 に対して E[e^{ν₀X₁}] = 1 である Cramér 条件を適用する。
• 中程度の厚尾性を持つ損害分布をモデル化するため、Lévy 済みの尾部に畳み込み同等条件を適用する。
• スケール関数および指数的チルトを用いて、P(u − X_{τᵤ−} > x | τᵤ < ∞) および P(X_{τᵤ} − u > x | τᵤ < ∞) の漸近的表現を導出する。
• ruin 発生を条件づけるために測度の変更技術を用い、問題を再生型の構造に変換する。
• 部分積分および有界収束定理を用いて、潜在測度およびオーバーシュート分布を含む積分の極限挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cramér 条件の下で、初期準備金 u → ∞ のとき、オーバーシュートおよびアンダーシュートの分布はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 Cramér モデルと畳み込み同等モデルにおける漸近的オーバーシュートおよびアンダーシュート分布の関係は何か？
• RQ3 Cramér モデルと畳み込み同等モデルにおける漸近的分布が一致する条件は何か？
• RQ4 畳み込み同等モデルは Cramér モデルの極限的ケースと見なせるか？ もしそうなら、その方法は何か？
• RQ5 GTSC クラスの Lévy プロセスは、Cramér モデルと畳み込み同等リスクモデルの比較をどのように支援するか？

主な発見

• Cramér 条件の下でのオーバーシュートの漸近的分布は、1 − (ν₀d_H)/q で与えられ、ここで d_H は指数的チルトのドリフト、q は ν₀ におけるラプラス指数である。
• アンダーシュート u − X_{τᵤ−} の漸近的分布は、Lévy 済みの尾部および指数的チルトを含む混合分布に収束し、極限として (ν₀d_H)/q + (1/q)∫₀ˣ e^{ν₀y} dΠ_H(y) をとる。
• Cramér モデルと畳み込み同等モデルのパラメータを ν₀ = α に設定すると、オーバーシュートおよびアンダーシュートの漸近的分布が同一になる。
• 二つのモデルが共通の極限に収束するという事実は、軽尾性（Cramér）から中程度の厚尾性（畳み込み同等）への連続的移行を示唆する。
• Cramér の場合、最小限の条件下でもこの結果が成り立つため、従来の結果を拡張し、リスクモデリングの統一的枠組みを提供する。
• 分析により、GTSC クラスがこの二重性を支持しており、軽尾性および中程度の厚尾性を持つ損害分布の両方を柔軟にモデリング可能であることが確認された。