[論文レビュー] Asymptotic energy conservation in periodically driven many-body systems

Dmitry A. Abanin, Wojciech De Roeck+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Quantum many-body systems被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、周期的駆動量子スピン系およびエネルギースケールが分離した系において、プリススティル化のきわめて厳密な枠組みを確立し、高周波数駆動下では有効な局所的ハミルトニアン $\u02c7 D$ が、準指数的時間 $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$ の間、系のダイナミクスを支配することを示している。フェルミ＝ハッブル模型においては、$U/J$ にほぼ指数的に依存する時間まで同様の性質が成り立つ。有効ハミルトニアン $\u02c7 D$ は $\tau_*$ まで保存量として機能し、長期間にわたりエネルギーの均衡化が起こらないことを説明する。

ABSTRACT

Prethermalization refers to the transient phenomenon where a system thermalizes according to a Hamiltonian that is not the generator of its evolution. We provide here a rigorous framework for quantum spin systems where prethermalization is exhibited for very long times. First, we consider quantum spin systems under periodic driving at high frequency $ u$. We prove that up to a quasi-exponential time $ au_* \sim e^{c \frac{ u}{\log^3 u}}$, the system barely absorbs energy. Instead, there is an effective local Hamiltonian $\hat D$ that governs the time evolution up to $ au_*$, and hence this effective Hamiltonian is a conserved quantity up to $ au_*$. Next, we consider systems without driving, but with a separation of energy scales in the Hamiltonian. A prime example is the Fermi-Hubbard model where the interaction $U$ is much larger than the hopping $J$. Also here we prove the emergence of an effective conserved quantity, different from the Hamiltonian, up to a time $ au_*$ that is (almost) exponential in $U/J$.

研究の動機と目的

• 周期的駆動量子スピン系における高周波数駆動下でのプリススティル化の厳密な存在を確立すること。
• 時間 $\tau_*$ までダイナミクスを支配する有効局所的ハミルトニアン $\u02c7 D$ を特定すること。
• 駆動のない系であってもエネルギースケールが分離している場合（例：$U \gg J$ のフェルミ＝ハッブル模型）にこの枠組みを拡張すること。
• 長時間スケールで、元のハミルトニアンとは異なる保存量が出現することを証明すること。
• プリススティル化時間 $\tau_*$ を駆動周波数 $\omega$ やエネルギースケール比 $U/J$ の関数として定量すること。

提案手法

• 高周波数展開技術を用いて、$\tau_*$ まで時間発展演算子を近似する有効ハミルトニアン $\u02c7 D$ を導出すること。
• マグニス級数展開の収束に対する厳密な評価を適用し、有効ダイナミクスの誤差を制御すること。
• 高周波数駆動下において、プリススティル化時間 $\tau_*$ が $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$ のように準指数的であることを示す。
• フェルミ＝ハッブル模型における $U \gg J$ のような系に、この手法を非駆動系へと拡張すること。
• 有効ハミルトニアン $\u02c7 D$ が元のハミルトニアンとは異なるが、$\tau_*$ まで保存量として機能することの証明。
• スペクトルギャップ推定と局所性評価を用いて、有効ハミルトニアンが局所的かつ物理的に意味を持つことを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的駆動量子スピン系において、準指数的時間まで系のダイナミクスを支配する厳密な有効ハミルトニアンを導出可能か？
• RQ2 プリススティル化時間 $\tau_*$ は駆動周波数 $\omega$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 エネルギースケールが分離している非駆動系（例：$U \gg J$）において、保存量が出現するか？
• RQ4 有効ハミルトニアン $\u02c7 D$ は元のハミルトニアンとどのように異なるのか？ なぜ $\tau_*$ まで保存量として機能するのか？
• RQ5 フェルミ＝ハッブル模型のように $U \gg J$ であるような系に対しても、この枠組みを拡張可能か？

主な発見

• 高周波数周期的駆動下では、系は時間 $\tau_* \sim e^{c \frac{\omega}{\log^3 \omega}}$ までプリススティル化を維持する。これは $\omega$ に対して準指数的に長い時間である。
• 有効局所的ハミルトニアン $\u02c7 D$ が、$\tau_*$ まで系の時間発展演算子を支配し、その間は保存量として機能する。
• エネルギースケールが分離した系（例：$U \gg J$ のフェルミ＝ハッブル模型）では、$U/J$ に対して（ほぼ）指数的に長い時間 $\tau_*$ まで有効な保存量が出現する。
• 有効ハミルトニアン $\u02c7 D$ は元のハミルトニアンとは異なるが、プリススティル化領域内ではダイナミクスを支配する。
• 導出にはマグニス級数展開の厳密な評価とスペクトルギャップ推定が用いられ、有効記述の妥当性が保証されている。
• 本研究は、量子多体系における長期間にわたる非平衡ダイナミクスを理解する一般枠組みを確立した。