[論文レビュー] Asymptotic expansions for profiles of lattice branching random walks

Rudolf Grübel, Zakhar Kabluchko|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℤ 上の格子分岐ランダムウォークのプロファイルに対して、一様なほとんど確実な漸近展開を確立する。粒子数 $ L_n(k) $ が、累積量母関数 $ \varphi $ の微分と Biggins マーティングレの関数を含むガウス型展開で表され、すべての $ k \in \mathbb{Z} $ に対して一様に成り立つ。この展開により、プロファイルのモード、高さ、および訪問回数に関する新しいほとんど確実な極限定理が得られる。

ABSTRACT

Consider a branching random walk on $\mathbb Z$ in discrete time. Denote by $L_n(k)$ the number of particles at site $k\in\mathbb Z$ at time $n\in\mathbb N_0$. By the profile of the branching random walk (at time $n$) we mean the function $k\mapsto L_n(k)$. We establish the following asymptotic expansion of $L_n(k)$, as $n o\infty$: $$ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) = \frac{e^{-\frac 12 x_n^2}}{\sqrt {2\pi \varphi''(0) n}} \sum_{j=0}^r \frac{F_j(x_n)}{n^{j/2}} + o(n^{-\frac{r+1}{2}}) ext{ a.s.}, $$ where $r\in\mathbb N_0$ is arbitrary, $\varphi(\beta)=\log \sum_{k\in\mathbb Z} e^{\beta k} \mathbb E L_1(k)$ is the cumulant generating function of the intensity of the branching random walk and $$ x_n = x_n(k) = \frac{k-\varphi'(0) n}{\sqrt{\varphi''(0)n}}. $$ The expansion is valid uniformly in $k\in\mathbb Z$ with probability $1$ and the $F_j$'s are polynomials whose random coefficients can be expressed through the derivatives of $\varphi$ and the derivatives of the limit of the Biggins martingale at $0$. Using exponential tilting, we establish also more general expansions covering the whole range of the branching random walk except its extreme values. As an application of this expansion for $r=0,1,2$ we recover in a unified way a number of known results and establish many new limit theorems. In particular, we study the a.s. behavior of the individual occupation numbers $L_n(k_n)$, where $k_n\in\mathbb Z$ depends on $n$ in some regular way. We also prove a.s. limit theorems for the mode $ ext{argmax}_{k\in\mathbb Z} L_n(k)$ and the height $ ext{max}_{k\in\mathbb Z} L_n(k)$ of the profile. The asymptotic behavior of these quantities depends on whether the drift parameter $\varphi'(0)$ is integer, non-integer rational, or irrational. Applications of our results to profiles of random trees including binary search trees and random recursive trees will be given in a separate paper.

研究の動機と目的

• 分岐ランダムウォークのプロファイル $ L_n(k) $ に対して、一様なほとんど確実な漸近展開を導出すること。
• $ n \to \infty $ のときの最大訪問回数 $ \max_k L_n(k) $ およびモード $ \arg\max_k L_n(k) $ のほとんど確実な挙動を特徴付けること。
• ドリフトパラメータ $ \varphi'(0) $ — 整数、有理数非整数、無理数 — がプロファイルの極値的特徴の漸近的挙動に与える影響を分析すること。
• 指数的チフトを用いて、極端な値を除く分岐ランダムウォークの全範囲に展開を拡張すること。
• 正規的 $ k_n $-依存性を示す $ L_n(k_n) $ の既知の極限定理を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 累積量母関数 $ \varphi(\beta) = \log \sum_k e^{\beta k} \mathbb{E} L_1(k) $ を用いて、$ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) $ の漸近展開を導出する。
• ガウス密度に類似する変数 $ x_n = \frac{k - \varphi'(0)n}{\sqrt{\varphi''(0)n}} $ を用いて展開を正規化された位置変数で表現する。
• $ \beta = 0 $ における Biggins マーティングレの極限およびその微分を用いて、多項式展開における確率的係数 $ F_j(x_n) $ を定義する。
• 指数的チフトを適用して、中央極限定理の範囲を超えて、$ k $ の全範囲（極端な尾部を除く）に展開を拡張する。
• 任意の固定された $ r \in \mathbb{N}_0 $ に対して、$ k \in \mathbb{Z} $ に関して一様にほぼ確実に収束する展開を確立する。
• 展開を活用して、モード、高さ、および個々の訪問回数 $ L_n(k_n) $ のほとんど確実な極限定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n \to \infty $ のとき、$ k \in \mathbb{Z} $ に関して一様にプロファイル $ L_n(k) $ はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 最大訪問回数 $ \max_k L_n(k) $ のほとんど確実な漸近的挙動は何か？ そしてドリフト $ \varphi'(0) $ にどのように依存するか？
• RQ3 モード $ \arg\max_k L_n(k) $ は $ n \to \infty $ のときほとんど確実にどのように変化するか？ また、$ \varphi'(0) $ の有理数性はどのような役割を果たすか？
• RQ4 中央領域を超えて、全プロファイル（尾部を除く）にまで漸近展開を拡張できるか？
• RQ5 $ k_n $ が $ n $ に対して正規的かつ滑らかに増加するとき、訪問回数 $ L_n(k_n) $ はほとんど確実にどのように振る舞うか？

主な発見

• プロファイル $ L_n(k) $ は一様なほとんど確実な漸近展開を有する：$ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) = \frac{e^{-\frac{1}{2}x_n^2}}{\sqrt{2\pi \varphi''(0)n}} \sum_{j=0}^r \frac{F_j(x_n)}{n^{j/2}} + o(n^{-(r+1)/2}) $、任意の $ r \in \mathbb{N}_0 $ に対して成立する。
• 展開は、確率 1 で $ k \in \mathbb{Z} $ 全体に一様に有効であり、係数 $ F_j $ は Biggins マーティングレと $ \varphi $ から導かれる確率的係数を持つ多項式である。
• $ r = 0,1,2 $ の場合、既知の訪問回数の極限定理が回復され、統一され、モードおよびプロファイルの高さに関する新しい a.s. 極限定理が得られる。
• $ \max_k L_n(k) $ および $ \arg\max_k L_n(k) $ のほとんど確実な挙動は、$ \varphi'(0) $ が整数、非整数有理数、または無理数であるかによって顕著に異なる。
• 指数的チフトを用いることで、展開は極端な尾部を除く $ k $ の全範囲に拡張された。
• これらの結果は、2分探索木やランダム再帰的木などのランダム木のプロファイルを分析する基盤を提供し、今後の論文で応用が展開される予定である。