[論文レビュー] Asymptotic Independence ex machina -- Extreme Value Theory for the Diagonal BEKK-ARCH(1) Model

Sebastian Mentemeier, Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対角線型 BEKK-ARCH(1) および関連する SRE モデルにおいて、同じ駆動インノベーションを持つにもかかわらず、異なる尾指数を有する成分同士は極値において漸近的独立であることを確立する。ベクトルスケーリング正則変動を用いて、尾指数が異なる場合、極値における依存性が消えることを証明する。

ABSTRACT

We consider multivariate stationary processes $(\boldsymbol{X}_t)$ satisfying a stochastic recurrence equation of the form $$ \boldsymbol{X}_t= \mathbb{ M}_t \boldsymbol{X}_{t-1} + \boldsymbol{Q}_t,$$ where $(\boldsymbol{Q}_t)$ are iid random vectors and $$ \mathbb{M}_t=\mathrm{Diag}(b_1+c_1 M_t, \dots, b_d+c_d M_t) $$ are iid diagonal matrices and $(M_t)$ are iid random variables. We obtain a full characterization of the multivariate regular variation properties of $(\boldsymbol{X}_t)$, proving that coordinates $X_{t,i}$ and $X_{t,j}$ are asymptotically independent even though all coordinates rely on the same random input $(M_t)$. We describe extremal properties of $(\boldsymbol{X}_t)$ in the framework of vector scaling regular variation. Our results are applied to some multivariate autoregressive conditional heteroskedasticity (BEKK-ARCH and CCC-GARCH) processes.

研究の動機と目的

• 共通の駆動インノベーションを有する対角線型確率的再帰方程式（SRE）の多次元正則変動特性を同定すること。
• マージナルの尾指数が異なる多次元 GARCH 型モデルにおける成分の連合極値的挙動を調査すること。
• 同じインノベーションに依存する成分が極値において漸近的独立性を示すというパラドックスを解明すること。
• 非標準的な極値的依存構造をモデル化するため、定常マルコフ連鎖へのベクトルスケーリング正則変動（VSRV）の拡張を試みること。
• 金融時系列における異質な尾挙動を理論的に裏付ける基盤を提供すること。特に、危機時における異なるリスクプロファイルを有する場合に有効である。

提案手法

• $\boldsymbol{X}_t = \mathbb{M}_t \boldsymbol{X}_{t-1} + \boldsymbol{Q}_t$ の対角線型 SRE モデルを分析し、$\mathbb{M}_t = \mathrm{Diag}(b_1 + c_1 M_t, \dots, b_d + c_d M_t)$ で、$M_t$ は i.i.d. である。
• Kesten-Goldie 定理を適用して、$\mathbb{E}[|b_i + c_i M_0|^{\alpha_i}] = 1$ を満たすマージナルの尾指数 $\alpha_i$ を導出する。
• 連合尾挙動を記述するためにベクトルスケーリング正則変動（VSRV）を用い、パレート型マージナルに対して非標準的な正則変動を置き換える。
• $\alpha_1$-歪み測度の下で、再帰的ダイナミクス $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_t = \mathbb{M}_t \widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_{t-1}$ を用いて、スペクトル尾過程 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_t$ を導出する。
• Hoeffding の補題とモーメント母関数のバウンドを用いて、極値的状態におけるマルティングルのような列の指数的減衰を証明する。
• 尾指数 $\alpha_1 > \alpha_2$ のとき、$\mathbb{P}(X_{0,1} > x^{1/\alpha_1} \mid X_{0,2} > x^{1/\alpha_2}) \to 0$ ($x \to \infty$) を示すことにより、漸近的独立性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の駆動インノベーションを持つ多次元 SRE モデルの成分が、極値において漸近的独立性を示すことは可能か？
• RQ2 対角線型 BEKK-ARCH(1) プロセスの連合極値的挙動は、$b_i, c_i$ の相対的値および尾指数 $\alpha_i$ にどのように依存するか？
• RQ3 マージナルの尾指数が異なる場合、ベクトルスケーリング正則変動（VSRV）が極値的依存性を特徴付ける役割を果たすのはどのような状況か？
• RQ4 スペクトルベクトル $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_0$ が軸上に集中する条件は何か？これは漸近的独立性を示唆する。
• RQ5 非 i.i.d. な対角線型係数および異なる尾指数を有する SRE に対して、スペクトル尾過程をどのように特徴づけられるか？

主な発見

• $c_2/c_1 > b_2/b_1 \geq 1$ かつ $c_1 > 0$ のとき、成分 $X_{0,1}$ と $X_{0,2}$ は漸近的独立であり、$\lim_{x\to\infty} \mathbb{P}(X_{0,1} > x^{1/\alpha_1} \mid X_{0,2} > x^{1/\alpha_2}) = 0$ が成り立つ。
• スペクトルベクトル $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_0$ はほとんど確実に $\{(1,0), (0,1)\}$ に存在し、2次元の場合の漸近的独立性を確認する。
• $Q_{1,t} = Q_{2,t}$ であっても、尾指数 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ のため、成分同士は依然として漸近的独立である。
• モデルはベクトルスケーリング正則変動（VSRV）を示し、同じインノベーション入力を有するにもかかわらず、非標準的な極値的依存構造を持つ。
• 尾指数が等しい（$\alpha_i = \alpha_j$）場合、スペクトルベクトルは非退化なサポートを持つ可能性があり、極値的依存性が生じる可能性を示唆する。
• 証明は、$\alpha_1$-歪み測度の下で $\Delta W_k = \log((b_2 + c_2 M_k)/(b_1 + c_1 M_k))$ のモーメント母関数をバウンドすることに依存し、それが 0 に収束することを示す。