[論文レビュー] Asymptotic invariants of base loci

Lawrence Ein, Robert Lazarsfeld+3 more|ArXiv.org|Aug 12, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、射影的代数多様体上のベキ大な除数の基本的領域の漸近的不変量を導入し、それらを研究する。特に、離散的ヴァレュエーションに沿った漸近的零点の位数に注目する。これらの不変量が数的同値類にのみ依存し、連続的であることを示し、既存の基本的領域と乗数イデアルに関する結果を拡張する。体積関数やモーリー・ドリーム空間における区分的多項式的挙動への応用を含む。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to define and study systematically some asymptotic invariants associated to base loci of line bundles on smooth projective varieties. We distinguish an open dense subset of the real big cone, called the stable locus, consisting of the set of classes on which the asymptotic base locus is locally constant. The asymptotic invariants define continuous functions on the big cone, whose vanishing characterizes, roughly speaking, the unstable locus. We show that for toric varieties at least, there exists a polyhedral decomposition of the big cone on which these functions are polynomial.

研究の動機と目的

• 射影的代数多様体上の線形系列の基本的領域に関連する漸近的不変量を定義し、体系的に研究すること。
• これらの不変量、特に漸近的零点の位数が、数的同値類およびアンピール除数による摂動の下でどのように振る舞うかを理解すること。
• 中谷らの $σ_E(D)$ に関する結果を、一般の離散的ヴァレュエーションおよび実除数類にまで拡張すること。
• 増強および制限された基本的領域の構造を分析し、それらが数的クラスにのみ依存することを示すこと。
• 線形系列の有限生成性の仮定の下で、体積関数の区分的多項式的挙動を確立すること。

提案手法

• ベキ大な $\mathbb{Q}$-除数 $D$ と離散的ヴァレュエーション $v$ に対して、漸近的零点の位数 $v(\|D\|) = \lim_{p \to \infty} \frac{v(|pD|)}{p}$ を定義する。
• この $v(\|D\|)$ が $D$ の数的同値類にのみ依存し、$\operatorname{Big}(X)_{\mathbb{R}}$ 上の連続関数に一意に拡張されることを証明する。
• 増強基本的領域 $\mathbf{B}_+(D) = \bigcap_A \mathbf{B}(D - A)$ と制限基本的領域 $\mathbf{B}_{--}(D) = \bigcup_A \mathbf{B}(D + A)$ を、アンピール $A$ の上で定義する。
• $\mathbf{B}_+(D)$ と $\mathbf{B}_{--}(D)$ が $D$ の数的クラスにのみ依存することを示し、実クラスへの拡張を可能にする。
• フジタの近似定理と被覆のモデルを用いて、体積を $(L^{[n]}) = (M^n)$ で表す（$M = \pi^*L - F$ とおく）。
• 閉じたベキ大なコーン $\overline{\operatorname{Big}(X)}_{\mathbb{R}}$ のファンの細分を用いて、体積および漸近的不変量の区分的多項式的挙動を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベキ大な除数 $D$ の数的クラスの関数として、$v(\|D\|)$ のような漸近的不変量はどのように振る舞うか？
• RQ2 安定基本的領域 $\mathbf{B}(D)$ は、$\mathbf{B}_+(D)$ や $\mathbf{B}_{--}(D)$ のような数的に良好な近似に置き換え可能か？
• RQ3 体積関数 $\operatorname{vol}(L)$ がベキ大なコーン上で区分的多項式的になる条件は何か？
• RQ4 漸近的不変量は、被覆のモデル上の線形系列を介して、どの程度定義され、計算可能か？
• RQ5 ヴァレュエーション $v$ の中心と、$\xi \in \operatorname{Big}(X)_{\mathbb{R}}$ に対して $v(\|\xi\|)$ が非ゼロとなることの関係は何か？

主な発見

• 漸近的零点の位数 $v(\|D\|)$ は $D$ の数的同値類にのみ依存し、$\operatorname{Big}(X)_{\mathbb{R}}$ 上に一意に連続関数として拡張される。
• $\mathbf{B}_+(D)$ と $\mathbf{B}_{--}(D)$ は実クラス $\xi \in \operatorname{Big}(X)_{\mathbb{R}}$ に対しても正しく定義され、数的同値にのみ依存する。
• 滑らかな多様体 $X$ に対して、$v(\|\xi\|) > 0$ であることは、$v$ の中心 $Z$ が $\mathbf{B}_{--}(\xi)$ に含まれることと同値である。
• 線形系列が有限生成であるとき、体積関数 $\operatorname{vol}(L)$ は $\overline{\operatorname{Big}(X)}_{\mathbb{R}}$ のファンの細分に関して区分的多項式的である。
• 適切な条件下で、漸近的不変量 $\widetilde{\operatorname{e}_Z}(m)$ は、ベキ大なコーンのファン細分の各コーン上で、次数 $d$ の多項式である。
• 体積は $\operatorname{vol}(L) = \sup_m \frac{((mL)^{[n]})}{m^n}$ を満たし、$(L^{[n]})$ は $L$ の基本イデアルを解消する被覆のモデルを介して定義される。