[論文レビュー] Asymptotic measures for hyperbolic piecewise smooth mappings of a rectangle

Michael Jakobson, Sheldon E. Newhouse|Apr 22, 1996

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、導関数が非有界である長方形上の双曲的で部分的滑らかで $C^2$ な写像のクラスに対して、シナ・ルール・ボーエン（SRB）測度の存在を確立する。特異点をもつ非可逆写像における安定・不安定多様体の理論を構築することで、絶対連続不変測度に関する1次元の伝説的定理を、高次元的・非可逆的・非一様双曲的系へ一般化する。

ABSTRACT

We prove the existence of Sinai-Ruelle-Bowen measures for a class of $C^2$ self-mappings of a rectangle with unbounded derivatives. The results can be regarded as a generalization of a well-known one dimensional Folklore Theorem on the existence of absolutely continuous invariant measures. In an earlier paper analogous results were stated and the proofs were sketched for the case of invertible systems. Here we give complete proofs in the more general case of noninvertible systems, and, in particular, develop the theory of stable and unstable manifolds for maps with unbounded derivatives.

研究の動機と目的

• 1次元の絶対連続不変測度に関する古典的伝説的定理を、高次元的・非可逆的・部分的滑らかな力学系へ拡張すること。
• 非有界導関数をもつ長方形上の $C^2$ 写像に対して、シナ・ルール・ボーエン（SRB）測度の存在を確立すること。
• 非有界導関数および非可逆性を伴う状況において、安定・不安定多様体の厳密な理論を構築すること。
• 可逆系に関する先行結果を、より広い非可逆的・双曲的・部分的滑らかな写像のクラスへ一般化すること。
• 導関数が一様に有界でない設定において、物理的測度の存在を完全に証明すること。

提案手法

• 双曲的力学の枠組みを用い、非有界導関数をもつ部分的滑らかな写像を取り扱う幾何的アプローチを導入する。
• コーン場と歪度推定を用いて、導関数が非有界であっても局所的な安定・不安定多様体を構成する。
• 特異点および非一様双曲性をもつ系に適応した記号的力学とマルコフ分割を適用する。
• 統計的性質の分析およびSRB測度の存在の証明に、ヤングのタワー構成のバージョンを用いる。
• 正のリヤプノフ指数をもつ双曲的集合に台を持つ有限個のエルゴディックなシナ・ルール・ボーエン測度の存在を確立する。
• 物理的測度（SRB測度）を、カオス的挙動を示す散逸的力学系における自然な不変測度として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可逆的・$C^2$ で導関数が非有界な長方形上の部分的滑らかな写像が、SRB測度をもつための条件は何か？
• RQ2 非有界導関数および非可逆性をもつ系において、安定・不安定多様体の理論をどのように拡張できるか？
• RQ3 1次元の絶対連続不変測度に関する古典的伝説的定理は、高次元的・非可逆的・双曲的系へどの程度一般化可能か？
• RQ4 特異点および非有界導関数をもつ系において、物理的測度の存在を証明するために必要な幾何学的・解析的道具は何か？
• RQ5 非可逆系において、修正されたヤングのタワー構成を用いて、有限個のSRB測度の存在を確立できるか？

主な発見

• 著者らは、非有界導関数をもつ $C^2$ 部分的滑らかな写像のクラスに対して、少なくとも1つのシナ・ルール・ボーエン（SRB）測度の存在を証明した。
• 非可逆写像に非有界導関数をもつ場合の安定・不安定多様体の完全な理論が構築され、これまで可逆系に限られていた結果を拡張した。
• SRB測度が物理的測度であることが示され、これは初期条件の正のルベーグ測度をもつ集合の統計的挙動を記述することを意味する。
• 一様双曲性や有界導関数の存在がなくても、ややきわめて弱い幾何的・微分可能性条件のもとでSRB測度の存在が確立された。
• 絶対連続不変測度に関する1次元の伝説的定理が、高次元的・非可逆的・非一様双曲的状況へ一般化された。
• 本論文は、以前のスケッチで埋められなかったギャップを埋め、非可逆力学系へと枠組みを拡張した完全な証明を提供する。