[論文レビュー] Asymptotic normality and efficiency of two Sobol index estimators

Alexandre Janon, Thierry Klein+3 more|Springer Link (Chiba Institute of Technology)|Mar 26, 2013

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ピックフリーズ法に基づく2つのソボル指数推定量の漸近正規性と有効性を確立し、そのうちの1つの推定量が最適な漸近分散に達することを証明している。さらに、メタモデル誤差が十分に速く減少する場合には、これらの性質がモデルの摂動に対してもロバストであることが示され、実用的に信頼区間を信頼できるものとする。

ABSTRACT

Many mathematical models involve input parameters, which are not precisely known. Global sensitivity analysis aims to identify the parameters whose uncertainty has the largest impact on the variability of a quantity of interest (output of the model). One of the statistical tools used to quantify the influence of each input variable on the output is the Sobol sensitivity index. We consider the statistical estimation of this index from a finite sample of model outputs: we present two estimators and state a central limit theorem for each. We show that one of these estimators has an optimal asymptotic variance. We also generalize our results to the case where the true output is not observable, and is replaced by a noisy version.

研究の動機と目的

• ピックフリーズ・モンテカルロ法に基づく広く用いられている2つのソボル指数推定量の漸近正規性と有効性を確立すること。
• 特にサンプルサイズが大きくかつメタモデルが収束する二重極限において、モデルの不確実性とメタモデル近似のソボル指数推定への影響を分析すること。
• 漸近正規性を用いた信頼区間の構築について理論的裏付けを提供すること。
• 2つの推定量のうちの1つが、ピックフリーズ再試行に基づく正規推定量の中で漸近的に有効であり、漸近分散を最小化することを示すこと。

提案手法

• ピックフリーズスキームを用いて2つのソボル指数推定量を導出：標準的推定量 $S_N^X$ と [17] で最近提案された $T_N^X$ 。
• モデルおよびメタモデルに関する正則性条件の下で、中心極限定理を両推定量に適用し、漸近正規性を確立する。
• 分散のホーフィング分解を用いて、ソボル指数を部分分散および共分散の比として表現する。
• 真の出力 $Y$ が誤差 $\delta_N$ を伴うノイズのあるバージョン $\widetilde{Y}$ に置き換えられる摂動モデルフレームワークを導入する。
• 多変量中心極限定理と、平均と分散がゼロに収束する i.i.d. 確率変数の正規化和の確率収束に関する重要な補題を用いる。
• 正規推定量におけるクラメール＝ラオの下界に達することを示すことにより、$T_N^X$ の漸近的有効性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された推定量 $T_N^X$ は、ピックフリーズ再試行に基づく正規推定量の中で、最小の可能な漸近分散に達するか？
• RQ2 サンプリング誤差とメタモデル誤差が、ソボル指数推定量の漸近分布にどのように同時に影響を与えるか？
• RQ3 真のモデル出力がノイズありまたは摂動されたバージョンに置き換えられても、漸近正規性は保持されるか？
• RQ4 メタモデル誤差のどの条件下で、推定量の漸近的有効性が維持されるか？

主な発見

• 推定量 $T_N^X$ は漸近的に有効であり、ピックフリーズ再試行に基づく正規推定量の中で最小の可能な漸近分散に達する。
• 両推定量 $S_N^X$ と $T_N^X$ は漸近的に正規分布に従い、これによりソボル指数の近似信頼区間を構築できる。
• 真の出力がノイズのあるバージョンに置き換えられても、推定量の漸近正規性と有効性は、メタモデル誤差の分散が十分に速くゼロに収束する限り保持される。
• 推定量の収束速度は $O_p(1/\sqrt{N})$ であり、標準的なパラメトリック推定と整合的である。
• 数値実験により、漸近正規性に基づく信頼区間が、モデル摂動下でも信頼できることが確認された。
• 理論的結果は弱いモーメント条件のもとでもロバストであり、一様可積分性を保証するための $L^{4+s}$ 積分可能性のメタモデル誤差を含む。