[論文レビュー] Asymptotic of densities of exponential functionals of subordinators

Martin Minchev, Mladen Savov|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Lévy測度に正の増加条件が成り立つ下で、部分的劣加法的過程の尾、密度、および導関数の非古典的Tauber型漸近挙動を確立する。Mellin変換をベルンシュタイン・ガンマ関数で表現した上で、鞍点法を精緻化することにより、正確な漸近的挙動が得られる。これは、非減少複合ポアソン過程の指数的関数の密度が指数分布の密度と一致することを示し、多くの場合、そのような密度が複素数の錐領域で解析的であることを示している。

ABSTRACT

In this paper we derive non-classical Tauberian asymptotic at infinity for the tail, the density and the derivatives thereof of a large class of exponential functionals of subordinators. More precisely, we consider the case when the Levy measure of the subordinator satisfies the well-known and mild condition of positive increase. This is achieved via a convoluted application of the saddle point method to the Mellin transform of these exponential functionals which is given in terms of Bernstein-gamma functions. To apply the saddle point method we improved the Stirling type of asymptotic for Bernstein-gamma functions and the latter is of interest beyond this paper as the Bernstein-gamma functions are applicable in different settings especially through their asymptotic behaviour in the complex plane. As an application we have derived the asymptotic of the density and its derivatives for all exponential functionals of non-decreasing, potentially compound Poisson processes which turns out to be precisely as that of an exponentially distributed random variable. We show further that a large class of densities are even analytic in a cone of the complex plane.

研究の動機と目的

• 部分的劣加法的過程の指数的関数の尾、密度、および導関数の漸近展開を導出すること。
• Lévy測度に正の増加条件が成り立つ下で、無限大における非古典的Tauber定理を確立すること。
• Mellin変換にベルンシュタイン・ガンマ関数を含む場合への鞍点法の適用範囲を拡張すること。
• このような密度の複素平面上における解析的性質を同定すること。
• 非減少複合ポアソン過程の指数的関数が指数型の尾減衰を示すことを実証すること。

提案手法

• 指数的関数のMellin変換に鞍点法を適用する。この変換はベルンシュタイン・ガンマ関数で表現される。
• 複素平面上におけるベルンシュタイン・ガンマ関数の精緻化されたStirling型漸近展開の開発。
• Lévy測度に正の増加条件を用いることで、漸近的挙動の正則性を保証する。
• 逆Mellin変換を評価するための解析接続および曲線変形技術。
• 部分的劣加法的過程の構造とそのラプラス指数の性質を活用し、密度の漸近挙動を導出する。
• 鞍点展開の一様有界性を用いて、複素平面上の領域における密度の解析性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy測度にやや弱い条件が成り立つ場合、部分的劣加法的過程の指数的関数の尾および密度は、無限大においてどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 ベルンシュタイン・ガンマ関数を含むMellin変換に対して、鞍点法はどの程度適応可能か？
• RQ3 非減少複合ポアソン過程の指数的関数の密度およびその導関数の正確な漸近形は何か？
• RQ4 このような関数の密度は、複素平面上のどの領域で解析的か？
• RQ5 これらの密度の漸近的挙動は、指数分布と同等とみなせるか？

主な発見

• 非減少複合ポアソン過程の指数的関数の密度およびその導関数は、指数分布に従う確率変数と同一の漸近的挙動を示す。
• ベルンシュタイン・ガンマ関数によるMellin変換の漸近展開が、複素平面上での鋭いStirling型近似にまで拡張される。
• 鞍点法により、尾および密度の正確な漸近展開が得られ、高階導関数に対しても成立する。
• 指数的関数から生じる多くの密度は、複素数の錐領域（セクター）で解析的であり、強い正則性を示している。
• Lévy測度に正の増加条件が成り立つことは、考察対象のすべての部分的劣加法的過程において、導出された漸近挙動の有効性を保証するのに十分である。
• 結果は古典的Tauber理論を越えており、自己分解可能分布の広いクラスに対して非古典的漸近結果を提供している。