[論文レビュー] Asymptotic of spectral covariance for linear random fields with infinite variance

Julius Damarackas, Vygantas Paulauskas|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Probability and Risk Models参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限分散を有する2次元線形確率場における安定型ノイズに注目し、スペクトル共分散 $ρ(X_{(0,0)},X_{(k_1,k_2)})$ の漸近的挙動を調査する。$k_1 \to \infty$、$k_2 \to -\infty$ のとき、その共分散は $n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})$ のようにスケーリングされ、極限はスペクトル測度およびフィルタ係数に依存する。

ABSTRACT

In the paper we continue to investigate measures of dependence for random variables with infinite variance. The asymptotic of spectral covariance $ρ(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ for linear random field $X_{k,l}=\sum_{i,j=0}^\infty c_{i,j}ε_{k-i, l-j}, \ (k, l)\in \mathbb{Z}^2,$ with special form of filter $\{c_{i,j}\}$ and with innovations $\{ ε_{i, j}\}$ having infinite second moment is investigated. Different behavior of $ρ(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ is obtained in the cases $n o \infty, \ m o \infty$ and $n o \infty, \ m o -\infty$, the latter case being much more complicated.

研究の動機と目的

• 2次モーメントが無限大である線形確率場へのスペクトル共分散理論の拡張を目的とする。特に2次元の場合に焦点を当てる。
• 2次モーメントが存在しない状況において、スペクトル共分散を依存度の尺度として用いて、その場の依存構造を分析すること。
• 1つのインデックスが無限大に、もう1つのインデックスが負の無限大に発散する場合のスペクトル共分散の漸近的挙動を調査すること。これは標準的な2次元ケースよりも複雑である。
• 特に安定型ノイズを伴う特定のフィルタおよびノイズ構造下で、スペクトル共分散のスケーリング極限を確立すること。
• スペクトル測度および特性関数を用いて、α安定ノイズによって駆動される線形確率場における依存の厳密な漸近的特徴付けを提供すること。

提案手法

• 単位円上のスペクトル測度 Γ を用いて、対称α安定（SαS）確率ベクトルを基礎として、スペクトル共分散を定義する。
• スペクトル共分散 $\rho(X_1,X_2) = \int_{\mathbb{S}^1} s_1 s_2 \Gamma(ds)$ および2次元SαSベクトルのスペクトル相関係数の定義を適用する。
• 極限分布からのスペクトル測度 Γ を用いて、非ガウス的かつ無限分散を有する確率ベクトルへのスペクトル共分散の概念を、ドメイン到達条件を介して拡張する。
• 無限分散を有する重尾型ノイズ $\varepsilon_{i,j}$ を伴う線形確率場 $X_{k,l} = \sum_{i,j=0}^\infty c_{i,j} \varepsilon_{k-i,l-j}$ を分析する。
• フィルタ係数 $c_{i,j}$ およびスペクトル測度を含む積分の漸近的解析を実施し、特に $n \to \infty$、$m_n \to \infty$ のときの挙動に注目する。ここで $k_1 = n$、$k_2 = -m_n$ である。
• $I_{1,j}$ および $I_{2,j}$ を含む積分のバウンドを用い、対数スケーリングを適用することで、$\rho(n, -m_n)$ の極限的挙動を導出する。スローリング関数およびスペクトル測度の性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元線形確率場において、無限分散を有する場合に $k_1 \to \infty$ かつ $k_2 \to -\infty$ のとき、スペクトル共分散 $\rho(X_{(0,0)}, X_{(k_1,k_2)})$ はどのように漸近的に振る舞うか。
• RQ2 このような場において、スペクトル共分散のスケーリングレートは何か。また、フィルタ係数およびスペクトル測度にどのように依存するか。
• RQ3 $k_1, k_2 \to \infty$ の場合と $k_1 \to \infty, k_2 \to -\infty$ の場合の漸近的挙動には、どのような違いがあるか。
• RQ4 ドメイン到達条件から得られるスペクトル測度を用いて、非ガウス的かつ無限分散を有する線形場におけるスペクトル共分散を一貫して定義・分析できるか。
• RQ5 スローリング関数 $L(x)$ およびスペクトル測度 $\Gamma$ は、共分散の漸近的スケーリングを決定づける上で、どのような役割を果たすか。

主な発見

• 無限分散ノイズを有する線形場におけるスペクトル共分散 $\rho(n, -m_n)$ は、$n \to \infty$、$m_n \to \infty$ のとき、漸近的に $n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})$ のようにスケーリングされる。
• 正規化されたスペクトル共分散 $\rho(n, -m_n) / \left(n^{1-\beta_1\alpha} m_n^{-\beta_2/\beta_1} \ln(n m_n^{-\beta_2/\beta_1})\right)$ の極限は、$\sum_{j=0}^{\infty} w_{(\infty,j)} (1+j)^{-\beta_2}$ に収束する。この量はフィルタ係数およびスペクトル測度によって決定される。
• $k_1 \to \infty$、$k_2 \to -\infty$ の場合の漸近的挙動は、正の第1象限の場合よりもはるかに複雑であり、振動的および対数的項の精密な解析が不可欠である。
• 2次モーメントが存在しない場合であっても、ドメイン到達条件から導かれるスペクトル測度 $\Gamma$ を用いることで、非ガウス的かつ無限分散を有する場におけるスペクトル共分散は適切に定義可能である。
• 解析により、スペクトル共分散が重尾型線形場における長距離依存性を捉えていることが確認され、極限はフィルタ係数の減衰率 $\beta_1$、$\beta_2$ に依存する。
• 積分 $I_{1,j}$ および $I_{2,j}$ に関するバウンドを通じて収束速度が確立され、主要寄与は $I_{1,j}$ 項に由来し、その対数スケーリングが支配的である。