[論文レビュー] Asymptotic properties of the maximum likelihood estimator for multivariate extreme value distributions

Clément Dombry, Sebastian Engelke+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、指数関数および角測度に関する一般な正則性条件の下で、パラメトリック多変量極値分布の最尤推定量（MLE）の漸近的正規性と有効性を確立する。また、空間的位置に非一様な対間距離がある場合に、Hüsler–Reiss、Schlather、Brown–Resnick過程といった代表的なモデルのMLEが漸近的に正規分布に従うことを証明し、多変量および空間極値統計における妥当な頻度主義的推論を可能にする。

ABSTRACT

Max-stable distributions and processes are important models for extreme events and the assessment of tail risks. The full, multivariate likelihood of a parametric max-stable distribution is complicated and only recent advances enable its use. The asymptotic properties of the maximum likelihood estimator in multivariate extremes are mostly unknown. In this paper we provide natural conditions on the exponent function and the angular measure of the max-stable distribution that ensure asymptotic normality of the estimator. We show the effectiveness of this result by applying it to popular parametric models in multivariate extreme value statistics and to the most commonly used families of spatial max-stable processes.

研究の動機と目的

• 多変量極値統計理論における長年の欠落であった、パラメトリック多変量極値分布の最尤推定量（MLE）の漸近的正規性を確立すること。
• MLEの2乗平均における微分可能性および漸近的正規性を保証する、指数関数および角測度に関する最小限の正則性条件を同定すること。
• 空間極値分野で広く用いられるモデル、特にHüsler–Reiss、Schlather、Brown–Resnick過程の理論的結果を検証すること。
• 複数の尤度を用いた手法の限界を克服し、多変量極値解析における完全尤度に基づく頻度主義的推論の厳密な基盤を提供すること。

提案手法

• Faà di Brunoの公式を用いて、極大安定分布の完全尤度を導出し、インデックス集合のすべての分割の和として密度を表現する。
• 指数関数および角測度に関する条件（A1）–A3）およびB1）–B3）を満たすことで、モデルの2乗平均における微分可能性を確立する。
• 非正則モデルにおけるMLEの一般的漸近理論を適用し、モデルのスコア関数が必要な正則性条件を満たすことを示す。
• 逆写像定理を用いて、パラメトリック族（例：SchlatherおよびBrown–Resnick過程）が漸近的正規性に必要な滑らかさ条件を満たすことを検証する。
• Hüsler–Reissモデルおよび分数バイアリオグラムを有するBrown–Resnick過程を含む特定のパラメトリック族に理論を適用する。
• 非一様な観測位置間の対間距離があるようなややきつい幾何的条件下でも、漸近的正規性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量極値分布の最尤推定量が、どのような条件下で漸近的に正規分布に従うか？
• RQ2 高次元設定において、パラメトリック極大安定分布の完全尤度を用いて妥当な頻度主義的推論が可能か？
• RQ3 Hüsler–ReissおよびBrown–Resnick過程といった代表的な空間極値モデルは、MLEの漸近的正規性に必要な正則性条件を満たすか？
• RQ4 観測位置の幾何的配置（例：対間距離）は、空間極値におけるMLEの漸近的性質にどのように影響するか？
• RQ5 導出された正則性条件下で、パラメトリック極大安定モデルのMLEは有効か？

主な発見

• 指数関数および角測度に関するややきつい正則性条件の下で、多変量極値分布の最尤推定量は漸近的に正規分布に従う。
• Hüsler–Reissモデルは2乗平均で微分可能であり、任意の正定値行列に厳密に条件付き負の定値性を持つパラメータ行列に対して、漸近的に正規かつ有効なMLEを有する。
• パワー指数型相関構造を有するSchlather過程において、観測位置に非一様な対間距離がある場合、パラメータ(s, α)のMLEは漸近的に正規分布に従う。
• 分数バイアリオグラムを有するBrown–Resnick過程は、観測位置がすべて等距離に配置されていない限り、MLEの漸近的正規性を満たす条件を満たすことが示された。
• これらの結果により、空間極値における完全尤度推論の有効性が裏付けられ、複合的対尤度手法のより効率的な代替手段が得られる。
• 理論的枠組みは、有限次元および連続領域における極大安定過程の両方に適用可能であり、極値統計における頻度主義的推論の範囲を拡張する。