[論文レビュー] Asymptotic properties of the quantum representations of the modular group

Laurent Charles|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、量子表現が大レベル極限において、モジュラー群 SL(2,Z) の表現が、トーラス上の古典的および量子チャーン＝サイモンズ理論を結びつけるフーリエ積分作用素として作用することを確立する。主な結果は、これらの表現の特徴の漸近展開であり、これは、双曲的モノドロミーを持つトーラスバンドルのウィッテン＝レシュティヒン＝トゥラエフ不変量のジェフリーの漸近公式を回復する。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the quantum representations of the modular group in the large level limit. We prove that each element of the modular group acts as a Fourier integral operator. This provides a link between the classical and quantum Chern-Simons theories for the torus. From this result we deduce the known asymptotic expansion of the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants of the torus bundles with hyperbolic monodromy.

研究の動機と目的

• 大レベル極限におけるモジュラー群 SL(2,Z) の量子表現の漸近的挙動を理解すること。
• 幾何的量子化を用いて、トーラス上の古典的および量子チャーン＝サイモンズ理論を明確に結びつけること。
• SL(2,Z) の双曲的元に対する量子表現の特徴の漸近展開を導出すること。
• ウィッテン＝レシュティヒン＝トゥラエフ不変量の漸近公式を、任意のコンパクトで単連結な単純リー群および双曲的モノドロミーへ一般化すること。

提案手法

• コンパクトで単連結かつ単純なリー群 G に対して、トーラス上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間 T²/W を幾何的量子化に適用する。
• 位相空間上にプリ量子線束を構成し、その k 乗テンソル積の正則切断が量子ヒルベルト空間を形成する。
• モジュラー群はプリ量子バンドル上のゲージ理論的自己同型として作用し、その作用はシータ関数と複素構造を用いて量子状態に分析される。
• 微局所解析とフーリエ積分作用素の理論を用いて、量子表現のトレースの漸近的挙動を研究する。
• Poisson 和公式を用いて、モジュラー群の生成子 S および T がシータ関数基底に与える作用を計算する。
• 横断性の仮定の下でトレースの漸近展開を導出し、Lefschetz 固定点公式をフーリエ積分作用素へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル k が無限大に近づく際、モジュラー群 SL(2,Z) の量子表現はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 各モジュラー群元が大 k 極限において、量子ヒルベルト空間上にフーリエ積分作用素として作用するか？
• RQ3 SL(2,Z) の双曲的元に対する量子表現の特徴の漸近展開は何か？
• RQ4 幾何的量子化の枠組みは、トーラス上で古典的チャーン＝サイモンズ理論と 3 次元多様体の量子不変量をどのように結びつけるか？
• RQ5 解析的手法を用いて、トーラスバンドルのウィッテン＝レシュティヒン＝トゥラエフ不変量の漸近公式を回復し、一般化できるか？

主な発見

• SL(2,Z) の各元が大レベル極限において、量子ヒルベルト空間上にフーリエ積分作用素として作用することを示し、古典的および量子チャーン＝サイモンズ理論の直接的な結びつきを確立する。
• 双曲的元の量子表現のトレースは、漸近展開をもち、その主要項にはチャーン＝サイモンズ不変量とトーラスバンドル上の平坦バンドルの解析的 torsion が含まれる。
• 双曲的モノドロミーを持つトーラスバンドルのウィッテン＝レシュティヒン＝トゥラエフ不変量の漸近公式が、任意のコンパクトで単連結な単純リー群 G へ一般化され、回復された。
• 生成子 S および T がシータ関数基底に与える作用が明示的に計算され、S は Poisson 和公式を介して双対基底変換をもたらす。
• 量子表現が射影的であることが示され、SL(2,Z) の中心拡大の真の表現に引き上げられ、幾何的および代数的構成で異なる拡大が生じる。
• シータ関数のノルムがガウス積分により計算され、(i/(k(τ−τ̄)))^{n/2} の因子が得られ、量子ヒルベルト空間の正しい正規化が確認された。