[論文レビュー] Asymptotic trajectories of KAM torus

Jianlu Zhang, Chong-Qing Cheng|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2.5自由度のほぼ可積分ハミルトニアン系において、KAMトーラスに漸近的に近づく軌道を構成し、変分法とメルニコフ型解析を用いて、与えられたディオファントス的KAMトーラスに任意に近づく軌道の存在を確立する。主な結果は、弱い結合と自己相似的摂動の下で、このような軌道が存在することを確認し、a priori安定系におけるアーノルド拡散の枠組みを拡張する。

ABSTRACT

In this paper we construct a certain type of nearly integrable systems of two and a half degrees of freedom: \[H(p,q,t)=h(p)+εf(p,q,t),\quad (q,p)\in T^{*}\mathbb{T}^2,t\in \mathbb{S}^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}, \] with a self-similar and weak-coupled $f(p,q,t)$ and $h(p)$ strictly convex. For a given Diophantine rotation vector $\vecω$, we can find asymptotic orbits towards the KAM torus $\mathcal{T}_ω$, which persists owing to the classical KAM theory, as long as $ε\ll1$ sufficiently small and $f\in C^r(T^{*}\mathbb{T}^2 imes\mathbb{S}^1,\mathbb{R})$ properly smooth. The construction bases on the new methods developed in {\it a priori} stable Arnold Diffusion problem by Chong-Qing Cheng. As an expansion of that, this paper sheds some light on the seeking of much preciser diffusion orbits.

研究の動機と目的

• a priori安定なほぼ可積分系において、2.5自由度のKAMトーラスに漸近的に近づく軌道を構成する課題に取り組む。
• 位相空間内の2共振構造と散在する通常双曲的不変カールド（NHIC）の困難を克服する。
• 自己相似的かつ弱く結合された摂動と厳密に凸な可積分部を持つ系に、アーノルド拡散の変分的枠組みを拡張する。
• コhomology空間内の不完全交差アニュラス内で、マーラーの拡散軌道を用いて異なるNHICを接続するメカニズムを提供する。
• トーラスの位相的疎らさにもかかわらず、与えられたディオファントス的KAMトーラスに任意に近づく軌道の存在を確立する。

提案手法

• ハミルトニアンを $ H(p,q,t) = h(p) + \rho f(p,q,t) $ の形に設定し、$ h(p) $ を厳密に凸とし、$ f $ を自己相似的かつ弱く結合されたものとする。
• マーラー理論およびオーブリ・マーラー理論に基づく変分法を用い、作用最小化曲線およびそのホモクライン接続を分析する。
• 軌道の拡散を検出・構成するために、メルニコフ型関数 $ M(x,q) = -\bigint_{-\fty}^{\infty} H_1(\tilde{\rho}_0(t), \nabla S_0^{u,s}(\tilde{\rho}_0(t))) dt $ を導入する。
• 最大値をとる関数 $ F_\rho(x) $ に対する一般化された非退化条件（UND）を導入し、摂動下でも臨界点の均一非退化性を保証する。
• マーラーの拡散軌道が共鳴セグメントを越えて接続可能な、コhomology空間内の不完全交差アニュラス $ \tilde{\bbA} \times \bbT^2 $ を構築する。
• 摂動展開 $ S_\rho = S_0 + \rho S_1 + \rho^2 S_2 + \bbO(\rho^2) $ を用い、1次補正を導出し、作用変数の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 a priori安定なほぼ可積分系において、与えられたディオファントス的回転ベクトルに漸近的に近づく軌道を構成できるか？
• RQ2 2共振構造の存在をどのように克服し、混沌たる層を越えて通常双曲的不変カールド（NHIC）を接続できるか？
• RQ3 摂動 $ f $ にどのような条件を課すと、KAMトーラスに $ \bbO(\rho) $ の精度で近づく拡散軌道が存在するようになるか？
• RQ4 メルニコフ法は、自己相似的かつ弱く結合された摂動を持つ系にどの程度一般化可能か？
• RQ5 マーラー理論の変分的枠組みは、$ \rho \to 0 $ の極限においてKAMトーラスをシャドーイングする軌道を構成するために適応可能か？

主な発見

• 任意のディオファントス的回転ベクトル $ \bm{\rho} $ に対して、$ \rho \to 0 $ の小刻みな摂動下で、位相空間内においてKAMトーラス $ \bbT_\rho $ に任意に近づく漸近的軌道が存在する。
• メルニコフ関数 $ M(x,q) $ は非摂動的フローに関して不変であり、ホモクライン点で消えるため、横断的交差を保証し、拡散軌道の生成を可能にする。
• 一般化された非退化条件（UND）を満たす関数の集合は、開かつ稠密であり、小刻みな摂動下でも構成のロバスト性を保証する。
• コhomology空間内の不完全交差アニュラス $ \bbA \times \bbT^2 $ にはNHICに対応するコhomology類が含まれており、接続可能なマーラー拡散軌道の存在を支持する。
• 構築された軌道の作用変数は長時間にわたり $ \bbO(1) $ のずれを示し、a priori安定な設定下でのアーノルド型拡散の存在を確認する。
• この構成により、KAMトーラス $ \bbT_\rho $ の $ \bbO(\rho) $-近傍にさえ、初期位置が $ \bbO(1) $ 離れていても、軌道が到達可能であることが確認され、トーラスのリャプノフ不安定性を示す。