[論文レビュー] Asymptotically cylindrical manifolds with holonomy Spin(7). I

Alexei Kovalev|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなSpin(7)-多様体のためのジョイスの方法の拡張を用いて、完全で漸近的に円筒型のリーマン8次元多様体で、ホロノミー群が完全にSpin(7)である最初の既知の例を構成している。ファノ型のケーラー4次元軌道体に滑らかな反カナニカルカレ・ヤウ3次元多様体の除集合と、整合性のある反正則自己同型を導入し、特異点を解消することで、制御されたトポロジーとモジュライ空間次元を有する非コンパクトなSpin(7)-多様体が得られる。特に、b⁴(M₁) = 455およびb⁴(M₂) = 455、それぞれモジュライ次元が352および224である2つの異なる例について明示的な計算が行われている。

ABSTRACT

We construct examples of asymptotically cylindrical Riemannian 8-manifolds with holonomy group Spin(7). To our knowledge, these are the first such examples. The construction uses an extension to asymptotically cylindrical setting of Joyce's existence result for torsion-free Spin(7)-structures. One source of examples arises from `Fano-type' Kaehler 4-orbifolds with smooth anticanonical Calabi-Yau 3-fold divisors and with compatible antiholomorphic involution. We give examples using weighted projective spaces and calculate basic topological invariants of the resulting Spin(7)-manifolds.

研究の動機と目的

• 完全で非コンパクトかつ漸近的に円筒型の8次元多様体で、ホロノミーが完全にSpin(7)である最初の例を構成すること。
• ねじれのないSpin(7)-構造のためのジョイスの存在定理を、漸近的に円筒型の設定に拡張すること。
• ファノ型ケーラー4次元軌道体に滑らかな反カナニカルカレ・ヤウ3次元多様体の除集合を備えたものから、このような多様体を体系的に生成する方法を提供すること。
• 重み付き射影空間から得られる明示的例について、トポロジー不変量とモジュライ空間次元を計算すること。
• ノルトシュトロームの基準に従い、断面の1番目のベッチ数が0であることにより、ホロノミーが完全にSpin(7)であることを確認すること。

提案手法

• コンパクトなSpin(7)-多様体のためのジョイスの構成を、ケーラー4次元軌道体の特異点の解消を介して、コンパクト商の代わりに漸近的に円筒型の設定に拡張する。
• ファノ型ケーラー4次元軌道体に滑らかな反カナニカルカレ・ヤウ3次元多様体の除集合と、整合性のある反正則自己同型を用いて、漸近的に円筒型のSpin(7)-軌道体を生成する。
• ねじれのないSpin(7)-構造のためのジョイスの存在定理の漸近的に円筒型への拡張を適用し、無限遠で4形式が円筒型モデルに収束することに依拠する。
• 重み付き射影空間を用いて明示的例を定義し、例としてℂP⁵₁,₁,₁,₁,₄,₄における8次超曲面を用い、特異点集合と正規除集合を計算する。
• 連続的なブローアップを施して軌道体特異点を解消し、反カナニカル除集合の正規バンドルが、構成に必要なホロモルフィックに自明であることを保証する。
• ホッジ理論とスティーブリンクの公式を用いて、軌道体のホッジ数とオイラー標跡を計算し、それらを基に得られるSpin(7)-多様体のベッチ数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョイスのコンパクト例のための方法の一般化を用いて、漸近的に円筒型の8次元多様体で、ホロノミーが完全にSpin(7)であるものを構成できるか？
• RQ2 ホロノミーが完全にSpin(7)であるのではなく、真の部分群にとどまるための、トポロジー的および幾何学的条件は何か？
• RQ3 重み付き射影超曲面と反カナニカル除集合といった、複素代数幾何のデータから、このような多様体の明示的例をどのように生成できるか？
• RQ4 得られる漸近的に円筒型のSpin(7)-多様体のベッチ数とモジュライ空間次元は何か？
• RQ5 4形式がカイリー形式に収束する際の制御された収束速度を伴う、ジョイスの存在定理の漸近的に円筒型への拡張を確立できるか？

主な発見

• ファノ型ケーラー4次元軌道体に滑らかな反カナニカルカレ・ヤウ3次元多様体の除集合を備えたものの特異点を解消することにより、完全で漸近的に円筒型の8次元多様体で、ホロノミーが完全にSpin(7)である最初の既知の例が構成された。
• 最初の例では、漸近的に円筒型のSpin(7)-多様体M₁について、b⁴(M₁) = 455、b⁴₋(M₁) = 200であり、Spin(7)-構造のモジュライ空間は352次元である。
• 2番目の例では、M₂についてb⁴(M₂) = 455、b⁴₋(M₂) = 72であり、モジュライ空間は224次元であり、M₁とはトポロジカルに異なることが確認された。
• この構成は、ℂP⁵₁,₁,₁,₁,₄,₄における8次超曲面として定義される4次元軌道体Vに依拠しており、2つの孤立した軌道体特異点を有し、反カナニカル除集合は8次フェルマー曲面Σ₈に同型である。
• Vのオイラー標跡は、軌道体の分岐被覆を再帰的に用いてχ(V) = 306として計算され、h³,₁(V) = 35はヤコビアンイデアル上のスティーブリンクの公式から導出された。
• 漸近的に円筒型のSpin(7)-多様体M₂は、ℂP⁴₁,₁,₁,₁,₄における2重反カナニカル除集合からも得られ、正規バンドルを自明にするために2回の連続的ブローアップが必要であり、この構成の許容性が確認された。