[論文レビュー] The holonomy of gerbes with connections

Marco Mackaay, Roger Picken|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、高次ゲージ理論を用いて接続を持つゲルベのホロノミーを計算するための新規フレームワークを導入し、束からのホロノミーの概念を高次束へと拡張する。曲率に基づく一貫性のあるホロノミー写像を確立し、同値関係によるゲルベの分類を可能にし、高次ゲージ理論の位相的不変量を提供する。

ABSTRACT

Consiglio Nazionale delle Ricerche - Biblioteca Centrale - P.le Aldo Moro, 7 Rome / CNR - Consiglio Nazionale delle Richerche

研究の動機と目的

• 主束からのホロノミーの概念を接続を持つゲルベへ一般化すること。
• 曲率とゲージ同値性を尊重するゲルベのための一貫性のあるホロノミー写像を定義すること。
• ホロノミー不変量を用いて接続を持つゲルベの分類を確立すること。
• 高次ゲージ理論のための幾何学的および位相的枠組みを提供すること。

提案手法

• 2接続における平行移動を用いて、高次ゲージ理論を用いて接続を持つゲルベのホロノミーを定義する。
• 曲率形式と高次ホロノミー不変量を適用し、ゲルベの同値性を特徴付ける。
• 微分コhomologyとデリーニコhomologyを用いて、ホロノミーと特徴類を関連付ける。
• 接続を持つゲルベの空間からU(1)値のループ群へのホロノミー写像を導入する。
• 2次元の曲面への微分形式の積分を用いてホロノミーを計算する。
• ゲージ変換の下での一貫性およびホロノミーのホモトピー不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形束のケースを超えて、接続を持つゲルベのためのホロノミーを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 曲率がゲルベのホロノミーを決定づける役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ3 ホロノミー写像は、同値関係による接続を持つゲルベの分類をどのように行うか？
• RQ4 接続を持つゲルベのホロノミーから生じる位相的不変量は何か？
• RQ5 ホロノミー構成は、より高次のゲルベや高次ゲージ理論へ拡張可能か？

主な発見

• 接続を持つゲルベのホロノミーは、一意に定義され、ゲージ変換に対して不変である。
• ホロノミー写像は、接続を持つゲルベの分類不変量を提供し、同値関係による分類を可能にする。
• ゲルベの曲率は、2サイクル上の積分によりホロノミーを決定づける。
• ホロノミー写像は、ゲルベのデリーニコhomology類を通じて因数分解される。
• この構成は、2次デリーニコhomologyにおける既知の結果と整合する。
• ホロノミー不変量は、同じ曲率を持つ非同値なゲルベを区別できる。