[論文レビュー] Asymptotically Independent U-Statistics in High-Dimensional Testing

Yinqiu He, Gongjun Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 66被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高次元グローバル検定のための漸近的独立性を有するU統計量の族を提案し、異なる次数からのp値の適応的組み合わせを可能にすることで、スパース、スパースでない、中間の代替仮説のあらゆる状況においてロバストな検出力を持つことを実現する。主な貢献は、帰無仮説の下で異なる次数のU統計量の漸近的独立性と正規性を確立したことであり、これによりFisherの方法による有効なp値の組み合わせが可能となり、多様な代替仮説に対して優れた検出力を達成する。

ABSTRACT

Many high-dimensional hypothesis tests aim to globally examine marginal or low-dimensional features of a high-dimensional joint distribution, such as testing of mean vectors, covariance matrices and regression coefficients. This paper constructs a family of U-statistics as unbiased estimators of the $\ell_p$-norms of those features. We show that under the null hypothesis, the U-statistics of different finite orders are asymptotically independent and normally distributed. Moreover, they are also asymptotically independent with the maximum-type test statistic, whose limiting distribution is an extreme value distribution. Based on the asymptotic independence property, we propose an adaptive testing procedure which combines $p$-values computed from the U-statistics of different orders. We further establish power analysis results and show that the proposed adaptive procedure maintains high power against various alternatives.

研究の動機と目的

• 真の代替仮説構造（スパース、スパースでない、中間）が未知である場合の高次元グローバル検定における低検出力の課題に対処すること。
• 高次元パラメータ（例：平均ベクトル、共分散行列、回帰係数）のℓpノルムの不偏推定量を構築する統一的枠組みの開発。
• 帰無仮説の下で異なる次数のU統計量の漸近的独立性と正規性を確立し、有効なp値の組み合わせを可能とすること。
• 複数のU統計量からのp値を組み合わせることで、多様な代替仮説タイプにわたって高い検出力を維持する適応的検定手順の提案。
• 理論的検出力解析と数値的検証を通じて、広範な代替仮説において優れた性能を示すことを提供。

提案手法

• i.i.d.観測値のカーネル関数を用いて、∥E∥a_a = ∑_{l∈L} e^a_l の不偏推定量として次数aのU統計量を構築する。
• U統計量の次数aを U(a) = (P^n_a)^{-1} ∑_{l∈L} ∑_{1≤i1≠⋯≠ia≤n} ∏_{k=1}^a K_l(z_{i_{(k-1)γ_l+1}}, ..., z_{i_{kγ_l}}) として定義する。ここでK_lはパrameter e_lの不偏カーネルである。
• 帰無仮説の下で異なる次数のU統計量の漸近的独立性を、連続する漸近正規性の証明により活用する。
• Fisherの方法を用いて複数の次数のU統計量からのp値を組み合わせ、多様な代替仮説に対してロバストな検出力を有する適応的検定を構築する。
• 帰無仮説の下での最大型統計量（U(∞)）の極限分布を、パーミュテーション法または漸近的近似を用いて推定する。
• 2標本平均および共分散検定、GWASアプリケーションを含む実世界の問題への適応的手順の適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる次数のU統計量は、高次元帰無仮説の下で漸近的に独立であるか？
• RQ2 複数の次数からのU統計量のp値を組み合わせることで、スパース、スパースでない、中間の多様な代替仮説タイプにわたって高い検出力を有する検定手順が得られるか？
• RQ3 微弱、スパース、中程度の代替仮説の下で、提案されたU統計量は、既存の二乗和型および最大型検定と比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ4 異なる次数のU統計量の漸近的独立性とその極限分布の理論的根拠は何か？
• RQ5 真の代替仮説構造が未知または設定によって変化する場合でも、適応的手順は高い検出力を維持できるか？

主な発見

• 異なる有限次数のU統計量は、帰無仮説の下で漸近的に独立であり、同時に正規分布に従うため、有効なp値の組み合わせが可能である。
• 次数a=2のU統計量は二乗和型推定量であり、より高い次数（例：a→∞）は最大型統計量を近似し、異なる代替仮説構造を捉える。
• 極めて微弱なケース（モデル1）では、U(1)とU(2)はそれぞれp=300で実験的検出力0.416および0.484を示し、適応的手順（adpUf2）は0.781に達する。
• 極めてスパースなケース（モデル2）では、高次数のU統計量（U(4), U(∞)）はほぼ1の検出力を示すが、U(1)とU(2)はそれぞれp=300で0.049および0.122に低下する。
• 中程度にスパースかつ微弱なケース（モデル3）では、有限次数のU(5)が最も高い検出力（p=300で0.946）を示し、他の手法（Chen, Sriva, Schott）が失敗する状況でも適応的手順（adpUf2）は高い検出力（p=300で0.940）を維持する。
• 提案された適応的手順（adpUf2）は、計算コストの高い手法（Pan1, Pan2）と同等またはそれ以上の検出力を達成するが、特にpが大きい場合に顕著に効率的である。