[論文レビュー] Asymptotically normal distribution of some tree families relevant for phylogenetics, and of partitions without singletons

Éva Czabarka, Péter L. Erdős+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

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ひとこと要約

本稿では、ハーパーの手法とエルデシュ＝ツェケリーシュの双対性を用いて、単一の要素を含まない系統樹と集合分割の漸近的正規性を確立する。固定されたリーフ数をもつ系統樹の数が、内部節点の数が変化する場合（同値に言えば、$ n+m $ 個の要素を $ m $ 個のサイズ $ \geq 2 $ の類に分割する場合）に、$ m $ が増加するにつれて正規分布に収束することを証明し、平均と分散の $ O(1/n) $ の誤差項まで正確な漸近展開を与える。

ABSTRACT

P.L. Erdos and L.A. Szekely [Adv. Appl. Math. 10(1989), 488-496] gave a bijection between rooted semilabeled trees and set partitions. L.H. Harper's results [Ann. Math. Stat. 38(1967), 410-414] on the asymptotic normality of the Stirling numbers of the second kind translates into asymptotic normality of rooted semilabeled trees with given number of vertices, when the number of internal vertices varies. The Erdos-Szekely bijection specializes to a bijection between phylogenetic trees and set partitions with classes of size \geq 2. We consider modified Stirling numbers of the second kind that enumerate partitions of a fixed set into a given number of classes of size \geq 2, and obtain their asymptotic normality as the number of classes varies. The Erdos- Szekely bijection translates this result into the asymptotic normality of the number of phylogenetic trees with given number of vertices, when the number of leaves varies. We also obtain asymptotic normality of the number of phylogenetic trees with given number of leaves and varying number of internal vertices, which make more sense to students of phylogeny. By the Erdos-Szekely bijection this means the asymptotic normality of the number of partitions of n + m elements into m classes of size \geq 2, when n is fixed and m varies. The proofs are adaptations of the techniques of L.H. Harper [ibid.]. We provide asymptotics for the relevant expectations and variances with error term O(1/n).

研究の動機と目的

• 固定されたラベル付きリーフ数と変化する内部節点数をもつ系統樹の数の漸近的正規性を確立すること。
• 特に $ n+m $ 個の要素を $ m $ 個のサイズ $ \geq 2 $ の類に分割する、単一の要素を含まない集合分割の分布を分析すること。
• これらの分布の平均と分散の正確な漸近的表現を、$ O(1/n) $ の誤差項まで導出すること。
• 第二種スターリング数のハーパーの手法を、単一の要素を含まない分割を数える修正されたスターリング数に適応すること。
• 進化的な系統樹解析における大規模な組合せ的数え上げの正確な近似を、系統樹研究者に提供すること。

提案手法

• 根付き半ラベル付き木と集合分割の間のエルデシュ＝ツェケリーシュの双対性を用いて、分割に関する結果を系統樹に関する結果に翻訳する。
• 生成関数と多項式の根の解析に焦点を当てた、組合せ的配列の漸近的正規性を証明するハーパーの手法を適用する。
• 特に $ H(x,z) $ を用いた2変数指数的母関数を用いて、$ n $ 個のラベル付きリーフと $ k $ 個の内部節点をもつ系統樹の数 $ T_{n,k} $ の分布をモデル化する。
• 生成関数 $ H(x,z) $ に対する関数方程式を導出：$ H(x,z) = z + x(e^{H(x,z)} - 1 - H(x,z)) $、指数公式から導出される。
• 母関数 $ H(1,z) $ の主要特異点 $ \rho = -1 + 2\ln 2 $ の近傍における特異展開を用いて、$ n $ 個のリーフをもつ系統樹の総数 $ t_n $ の漸近的展開を抽出する。
• $ t_n $ の漸近的展開を $ T_{n,k} $ の再帰的関係と組み合わせ、$ T_{n+1,.} $ の期待値と分散を $ O(1/n) $ の誤差境界で計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n $ 個のラベル付きリーフと $ k $ 個の内部節点をもつ系統樹の数は、$ k $ が変化する際に正規分布に従うか？
• RQ2 サイズが少なくとも2の $ m $ 個の類に $ n+m $ 個の要素を分割する、修正された第二種スターリング数は、$ m $ が変化する際に漸近的に正規的か？
• RQ3 このような分割または系統樹の分布の平均と分散の正確な漸近的表現は何か？
• RQ4 第二種スターリング数のハーパーの手法を、単一の要素を含まない分割に適応して、漸近的正規性を証明できるか？
• RQ5 期待値と分散の漸近的近似はどれほど正確か、特に $ O(1/n) $ の誤差項を含む場合に。

主な発見

• $ n $ 個のラベル付きリーフと変化する内部節点数をもつ系統樹の数の分布は、$ n $ が増加するにつれて漸近的に正規的である。
• $ n+m $ 個の要素を $ m $ 個のサイズ $ \geq 2 $ の類に分割する集合分割の数は、$ m $ が変化し $ n $ が固定されている場合に漸近的に正規的である。
• $ n $ 個のリーフをもつ系統樹の総数の漸近的展開は、$ t_n \sim \frac{n!}{\sqrt{\pi}\rho^{n-1/2}}\left(\frac{1}{2n^{3/2}} + \frac{3}{16n^{5/2}} + \frac{25}{256n^{7/2}} + O(n^{-9/2})\right) $ であり、$ \rho = -1 + 2\ln 2 $ である。
• $ n+1 $ 個のリーフと変化する内部節点数をもつ系統樹の数 $ T_{n+1,.} $ の期待値は、漸近的に $ \frac{t_{n+2}}{2t_{n+1}} - \frac{n+1}{2} $ であり、$ O(1/n) $ の誤差をもつ。
• $ T_{n+1,.} $ の分散は、漸近的に $ \frac{t_{n+3}}{4t_{n+1}} - \frac{t_{n+2}^2}{4t_{n+1}^2} - \frac{t_{n+2}}{2t_{n+1}} - \frac{n+1}{4} $ であり、同様に $ O(1/n) $ の誤差をもつ。
• $ P_n(x) = \sum_k T_{n+1,k} x^k $ は $ n $ 個の相異なる実数根を持つ：0 に一つの根と、$ (-1,0) $ 内に残りの $ n-1 $ 個の根を持つ。帰納法とロルの定理を用いて証明される。