[論文レビュー] Asymptotically Unitary Equivalence and Classification of Simple Amenable C*-algebras

Huaxin Lin|ArXiv.org|Jun 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、トレーシングランクが1以下である単位的分離的単純なアーベルでないC*-代数の完全な分類を確立する。そのために、このような代数間の2つの単位的単準同型が、KK理論、トレース写像、および回転に関連する写像で一致するときかつそのときに限り、漸近的にユニタリ同値であることを証明する。この結果により、Elliott分類プログラムが、次元成長のないものと同型なZ-安定なAH代数を含む、より広いクラスのC*-代数へと拡張される。

ABSTRACT

Let $C$ and $A$ be two unital separable amenable simple C*-algebras with tracial rank no more than one. Suppose that $C$ satisfies the Universal Coefficient Theorem and suppose that $ϕ_1, ϕ_2: C o A$ are two unital monomorphisms. We show that there is a continuous path of unitaries $\{u_t: t\in [0, \infty)\}$ of $A$ such that $$ \lim_{t o\infty}u_t^*ϕ_1(c)u_t=ϕ_2(c) foral c\in C $$ if and only if $[ϕ_1]=[ϕ_2]$ in $KK(C,A),$ $ϕ_1^‡=ϕ_2^‡,$ $(ϕ_1)_T=(ϕ_2)_T$ and a rotation related map $\bar{R}_{ϕ_1,ϕ_2}$ associated with $ϕ_1$ and $ϕ_2$ is zero. Applying this result together with a result of W. Winter, we give a classification theorem for a class ${\cal A}$ of unital separable simple amenable \CA s which is strictly larger than the class of separable \CA s whose tracial rank are zero or one. The class contains all unital simple ASH-algebras whose state spaces of $K_0$ are the same as the tracial state spaces as well as the simple inductive limits of dimension drop circle algebras. Moreover it contains some unital simple ASH-algebras whose $K_0$-groups are not Riesz. One consequence of the main result is that all unital simple AH-algebras which are ${\cal Z}$-stable are isomorphic to ones with no dimension growth.

研究の動機と目的

• トレーシングランク ≤1 である単純なアーベルでないC*-代数間の単位的単準同型の漸近的ユニタリ同値性に関する一意性定理の確立。
• トレーシングランク0または1のものより厳密に大きいクラスのC*-代数へ、Elliott分類プログラムを拡張すること。
• Z-安定な単位的単純なAH代数が、漸近的ユニタリ同値性を用いて、次元成長のないものと同型であることを証明すること。
• UHF代数とのテンソル積、帰納的極限、およびテンソル積に関して閉じたクラスAのC*-代数を特徴づけること。このクラスには多くのASH代数とZ-安定代数が含まれる。
• KK理論、トレース、および新しい回転写像を用いたC*-代数の分類の枠組みを提供し、トレーシングランク0を越えて分類を可能にする。

提案手法

• 最近[38]で確立された、トレーシングランク1のC*-代数における基本ホモトピー補題を用いて、準同型の摂動を制御する。
• ユニバーサル係数定理（UCT）を適用し、KK理論類が実際に準同型に引き上げられることを保証する。
• A内の連続なユニタリの経路を構成し、2つの単位的単準同型φ₁とφ₂を漸近的に入れ替える。
• 4つの不変量を用いて漸近的ユニタリ同値性を検証する：[φ₁] = [φ₂] in KK(C,A), φ₁‡ = φ₂‡, (φ₁)T = (φ₂)T, および R̄φ₁,φ₂ = 0。
• W. Winterの手法を活用し、UHF代数Mₚとテンソル積を取ることで、分類問題をトレーシングランク0の代数に還元する。
• 帰納的極限およびテンソル積に関する閉じ性を活用して、C*-代数のクラスAを定義・特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレーシングランク ≤1 である単純なアーベルでないC*-代数について、2つの単位的単準同型φ₁, φ₂: C → A が何時漸近的にユニタリ同値であるか？
• RQ2 このような準同型を漸近的ユニタリ同値性の下で分類するために、必要なおよび十分なK理論的不変量とトレース不変量は何か？
• RQ3 Z-安定な単位的単純なAH代数は、次元成長のないものと同型であると分類できるか？
• RQ4 トレーシングランク0を越えてC*-代数を分類するための、KK理論とトレースの外で必要な最小の不変量の集合は何か？
• RQ5 テンソル積、帰納的極限、およびUHF代数とのテンソル積に関して閉じたクラスAに属するC*-代数は何か？その構造的特徴は何か？

主な発見

• 2つの単位的単準同型φ₁, φ₂: C → A が漸近的にユニタリ同値であるための必要十分条件は、KK(C,A)において[φ₁] = [φ₂]、φ₁‡ = φ₂‡、(φ₁)T = (φ₂)T、および回転写像 R̄φ₁,φ₂ = 0 が成り立つことである。
• クラスAである単位的分離的単純なアーベルでないC*-代数は、すべての単位的単純なAH代数、すべてのZ-安定代数（TR ≤1）を含み、テンソル積、帰納的極限、UHF代数とのテンソル積に関して閉じている。
• Z-安定なすべての単位的単純なAH代数は、次元成長のないものと同型である。これは、主分類結果の重要な帰結である。
• Aに属する代数のテンソル積はAに属し、Aは帰納的極限に関して閉じている。これにより、Aの分類への頑健性が確認される。
• クラスAには、任意の可測なチョケット単体を有するトレース状態空間とK₀群がℤである単位的単純なASH代数、および非リーマン型K₀群を有するものも含まれる。
• A, B ∈ A に対して、A ⊗ ℤ ≅ B ⊗ ℤ であるための必要十分条件は、Ell(A ⊗ ℤ) ≅ Ell(B ⊗ ℤ) であることである。これは、Aに属するZ-安定代数の完全不変量を提供する。