[論文レビュー] Asymptotics for Tur\'an numbers of cycles in 3-uniform linear hypergraphs

Beka Ergemlidze, Ervin Győri+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3-一様線形超グラフにおける5サイクル（C5）の漸近的ツーラン数を確立し、それが漸近的に $rac{1}{3ar{3}}n^{3/2}$ に等しいことを証明する。新しい構成と証明技法を導入し、線形ツーラン数がC4と{C3, C4}に対して漸近的に等価であることを示し、奇数長の線形サイクルの線形ツーラン数がサイクル長に依存するが、高周期制約を介して極値グラフ論と結びつくことを示している。

ABSTRACT

Let $\mathcal{F}$ be a family of $3$-uniform linear hypergraphs. The linear Tur\'an number of $\mathcal F$ is the maximum possible number of edges in a $3$-uniform linear hypergraph on $n$ vertices which contains no member of $\mathcal{F}$ as a subhypergraph. In this paper we show that the linear Tur\'an number of the five cycle $C_5$ (in the Berge sense) is $\frac{1}{3 \sqrt3}n^{3/2}$ asymptotically. We also show that the linear Tur\'an number of the four cycle $C_4$ and $\{C_3, C_4\}$ are equal asmptotically, which is a strengthening of a theorem of Lazebnik and Verstra\"ete. We establish a connection between the linear Tur\'an number of the linear cycle of length $2k+1$ and the extremal number of edges in a graph of girth more than $2k-2$. Combining our result and a theorem of Collier-Cartaino, Graber and Jiang, we obtain that the linear Tur\'an number of the linear cycle of length $2k+1$ is $\Theta(n^{1+\frac{1}{k}})$ for $k = 2, 3, 4, 6$.

研究の動機と目的

• 3-一様線形超グラフにおける5サイクル（C5）の線形ツーラン数の漸近的挙動を特定すること。
• C3-フリー条件がなくても、C4の線形ツーラン数が{C3, C4}のそれと漸近的に等しいことを示すことで、先行研究を強化すること。
• 3-一様超グラフにおける奇数長線形サイクルの線形ツーラン数と、高周期を持つグラフにおける辺数の極値数との間に深い関係を確立すること。
• k = 2,3,4,6 に対して、線形サイクル $2k+1$ の線形ツーラン数のタイトな漸近的境界を示し、それが $\Theta(n^{1+1/k})$ に等しいことを示すこと。

提案手法

• 頂点集合 $L_t$、$R_t$ および中心集合 $B$ を用いて、互いに素な頂点集合を用いたC5-フリーな3-一様線形超グラフを構成し、$v_{i,j} \in B$ に対して $\{v_{i,j}, l_t^i, r_t^j\}$ の形の超辺を導入する。
• 線形超グラフ内のパスと補助的二部グラフ $G$ の辺との間の全単写像を用い、超グラフ内のサイクルとグラフ内のサイクルとの関係を確立する。
• 極値グラフ論の結果を適用：$C_{2k-2}$-フリーな二部グラフ $G$ が $\Omega(z^\alpha)$ の辺を持つと仮定し、超グラフのツーラン数に対する下界を導出する。
• 超グラフ内に線形 $C_{2k+1}$-サイクルが存在する場合、$G$ 内に長さ $2k-1$ 以下のサイクルが存在するという矛盾を導くために、$G$ 内の回路構成を用いた背理法を採用する。
• 既知の極値グラフ境界（例：Collier-Cartaino らの結果）とこの構成を組み合わせることで、$\mathrm{ex}^\mathrm{lin}_3(n, C_{2k+1})$ のタイトな漸近的境界を導出する。
• 奇数長の線形サイクルが、補助的グラフ内に空でない回路を生成することを用い、これが背理法の根拠となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3-一様線形超グラフにおける5サイクル $C_5$ の線形ツーラン数の漸近的成長率は何か？
• RQ2 C3-フリー条件を除いても、C4の線形ツーラン数は{C3, C4}のそれと漸近的に等しいか？
• RQ3 3-一様超グラフにおける奇数長線形サイクルの線形ツーラン数は、極値グラフ論（特に高周期グラフの辺数）とどのように関係しているか？
• RQ4 k = 2,3,4,6 に対して、極値グラフ論への接続を用いて $\mathrm{ex}^\mathrm{lin}_3(n, C_{2k+1})$ の漸近的挙動を特定できるか？

主な発見

• C5の線形ツーラン数は漸近的に $\frac{1}{3\bar{3}}n^{3/2} + O(n)$ に等しく、新しい構成と革新的な上界証明により確立された。
• C4の線形ツーラン数は{C3, C4}のそれと漸近的に等しく、すなわち $\frac{1}{6}n^{3/2} + O(n)$ に等しい。これはC3-フリー条件が漸近的境界に不要であることを示している。
• 線形サイクル長 $2k+1$ の線形ツーラン数と、$C_{2k-2}$-フリーな二部グラフ内の極値辺数との間に強い関係が確立された。
• k = 2,3,4,6 に対して、線形サイクル長 $2k+1$ の線形ツーラン数は $\Theta(n^{1+1/k})$ に等しく、超グラフ構成と既知の極値グラフ結果を組み合わせることで導出された。
• 証明は、超グラフ内のパスから補助的二部グラフ内に回路を構成することに依存しており、超グラフ内に線形 $C_{2k+1}$-サイクルが存在する場合、$G$ 内に長さ $2k-1$ 以下のサイクルが存在する必要がある。これは矛盾を引き起こし、背理法の根拠となる。
• C5-フリー超グラフに対する同じ漸近的下界を得るが、BollobásとGyőriが用いた構成とは根本的に異なり、はるかに構造的（線形的）である。