[論文レビュー] Asymptotics of the eigenvalues of the Anderson Hamiltonian with white noise potential in two dimensions

Khalil Chouk, Willem van Zuijlen|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2019

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 30被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、2次元の箱 [0, L]² における時空間白色ノイズポテンシャルを伴うアンドリューソンハミルトニアンの固有値のほとんど確実な漸近的挙動を確立する。パラコントロールド分布と大偏差原理を用いて、n番目の固有値 λₙ(L) を log L で割ったものが、テスト関数の L² および H¹ ノルムを含む変分公式によって与えられる決定的定数にほとんど確実に収束することを証明する。主な結果は、ラジエンシュチャヤの不等式によって定まる定数への固有値スケーリングの普遍的収束である。

ABSTRACT

In this paper we consider the Anderson Hamiltonian with white noise potential on the box $[0,L]^2$ with Dirichlet boundary conditions. We show that all the eigenvalues divided by $\log L$ converge as $L ightarrow \infty$ almost surely to the same deterministic constant, which is given by a variational formula.

研究の動機と目的

• 時空間白色ノイズを伴う2次元ボックスにおけるアンドリューソンハミルトニアンの固有値のほとんど確実な漸近的挙動を確立すること。
• パラコントロールド分布を用いて、周期的境界条件からディリクレ境界条件へのアンドリューソンハミルトニアンの構成を拡張すること。
• n番目の固有値 λₙ(L) を log L で割ったものが、変分公式によって定まる決定的定数にほとんど確実に収束することを証明すること。
• 固有値の漸近的挙動を放物型アンドリューソンモデルおよび解の全質量に関連付けること。

提案手法

• 著者たちは、パラコントロールド分布を用いて、ディリクレ境界条件を満たす H₀¹([0, L]²) 上で H = Δ + ξ を定義する。
• 特異な白色ノイズポテンシャルを取り扱うために、ディリクレおよびノイマン型のベゾフ空間 Bᵈ,αₚ,ₚ および Bⁿ,αₚ,ₚ を構築し、それらの間のパラおよび共鳴積を定義する。
• 強化された白色ノイズのための大偏差原理を導出し、固有値の尾部挙動を制御するために用いる。
• スケーリングおよび平行移動不変性、異なるサイズのボックスにおける固有値の比較、および大偏差率関数の下界を用いて、固有値収束を証明する。
• 証明は、混合ディリクレ-ノイマン設定へのパラおよび共鳴積のためのボーニ型推定式の拡張に依存する。
• 主要な技術的ステップは、白色ノイズ近似に関連するガウス過程の共分散を、三角恒等式および積分推定を用いて評価することである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L → ∞ のとき、2次元ボックスにおける時空間白色ノイズを伴うアンドリューソンハミルトニアンの固有値のほとんど確実な漸近的挙動は何か？
• RQ2 ポテンシャルが白色ノイズであるため、標準的演算子論では不規則すぎるため、有界領域におけるディリクレ条件を満たすアンドリューソンハミルトニアンをどのように厳密に定義できるか？
• RQ3 λₙ(L)/log L がほとんど確実に収束する極限定数は何か？そして、それはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 固有値の漸近的挙動は、放物型アンドリューソン方程式の解の全質量とどのように関係するか？

主な発見

• n番目の固有値 λₙ(L) を log L で割ったものが、L → ∞ のとき、テスト関数の L² および H¹ ノルムを含む変分公式によって与えられる決定的定数 χ にほとんど確実に収束する。
• 極限定数 χ は、すべての f ∈ H¹(R²) に対して ‖f‖₄⁴ ≤ C‖∇f‖₂²‖f‖₂² を満たす最小の C > 0 であり、これはラジエンシュチャヤの不等式に一致する。
• 収束はすべての n ∈ ℕ に対して成り立ち、固有値のコンパクト集合上で一様に成り立つ。
• 固有値の漸近的挙動は、強化された白色ノイズの大偏差原理を介して導出され、固有値の尾部挙動を制御する。
• 証明は、ディリクレおよびノイマン型のベゾフ空間の構築および、混合ディリクレ-ノイマン積へのボーニ推定式の拡張に依存する。
• 主要な技術的推定では、白色ノイズ近似に関連するガウス過程の共分散を評価し、δ > 0 に対して E[|Xεₖ,ᵣYεₗ,ᵣ|] ≲ (1 + |k − r/ε|)¹⁻ᵟ + (1 + |l − r/ε|)¹⁻ᵟ が成り立つことを示す。