[論文レビュー] Asymptotics of the occupancy scheme in a random environment and its applications to tries

Silvia Businger|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Sep 11, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダム環境における占有スキームの漸近的挙動を研究し、$ m $ 個のマルコフ連鎖のコピーをネストされたボックス系でモデル化する。$ m $ 個の軌道がすべて異なる瞬間 $ H_{m,j} $ と、すべての可能な軌道が少なくとも $ j $ 回観測される瞬間 $ G_{m,j} $ のほとんど確実な極限法則を導出し、マルコフ連鎖の遷移確率がランダムな場合に、古典的なトライの結果をマーティングールと大偏差技法を用いた分岐過程の枠組みで拡張する。

ABSTRACT

Consider $ m $ copies of an irreducible, aperiodic Markov chain $ Y $ taking values in a finite state space. The asymptotics as $ m $ tends to infinity, of the first time from which on the trajectories of the $ m $ copies differ, have been studied by Szpankowski (1991) in the setting of tries. We use a different approach and model the $ m $ trajectories by a variant of the occupancy scheme, where we consider a nested sequence of boxes. This approach will enable us to extend the result to the case when the transition probabilities are random. We moreover use the same techniques to study the asymptotics as $ m $ tends to infinity of the time up to which we have observed all the possible trajectories of $ Y $ in random and nonrandom scenery.

研究の動機と目的

• 遷移確率がランダムである場合の $ K $ 進トライの高さに関する古典的結果を、ランダム環境における占有スキームとしてモデル化することで、$ K $ 進トライの結果を拡張すること。
• ランダム環境下で、非周期的かつ再帰的であるマルコフ連鎖の $ m $ 個の軌道がすべて異なる瞬間 $ H_{m,j} $ を分析すること。
• すべての可能なマルコフ連鎖の軌道が少なくとも $ j $ 回観測されるまでの最小時間 $ G_{m,j} $ である飽和時間の研究。
• ランダム環境に関する一般条件の下で、$ m \to \infty $ のときの $ H_{m,j} $ および $ G_{m,j} $ のほとんど確実な漸近的極限を確立すること。
• ネストされたボックスモデルとボックスサイズの極値解析を用いて、$ j $-トライに関するシュパンコウスキーの結果を、ランダム遷移行列の設定に一般化すること。

提案手法

• $ m $ 個の i.i.d. なマルコフ連鎖 $ Y $ を、$ K $ 進木にインデックスが付いたネストされたボックスの系列でモデル化し、各ボックスを状態空間内のパスに対応させる。
• 生成 $ n $ のボックスのサイズを、パスに沿った遷移確率の積として表現し、ランダム環境における乗法的カスケードを形成する。
• 各生成における最大および最小ボックスサイズを制御するために、マーティングールの議論とボレル＝カンテリ型の補題を用いる。
• i.i.d. 指数分布の確率変数に対する極値理論と指数的尾部バウンドを適用し、ボックスを満たすか飽和させるために必要なボール（軌道）の数を推定する。
• 各生成 $ n $ で与えられたボックスに到達する軌道数を表す補助的確率変数 $ \textbf{T}_n $ を導入し、指数分布変数とのカップリングによりその成長を制御する。
• ボックスサイズと投げられたボール数の相互作用を分析することで、$ \frac{1}{\ln m} H_{m,j} $ および $ \frac{1}{\ln m} G_{m,j} $ のほとんど確実な収束を確立する。大偏差推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遷移確率がランダムである場合に、$ m $ 個のマルコフ連鎖の軌道がすべて異なる瞬間 $ H_{m,j} $ のほとんど確実な漸近的挙動は何か？
• RQ2 すべての可能な軌道が少なくとも $ j $ 回観測されるまでの時間 $ G_{m,j} $ が、ランダム環境下でどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 遷移確率がランダムな場合に、決定的遷移確率を仮定した古典的 $ j $-トライの結果を、ネストされたボックスモデルを用いて拡張できるか？
• RQ4 遷移確率がランダムな場合に、$ H_{m,j} $ の漸近的スケーリングに、行列 $ (p_{ik}^j) $ の最大固有値の絶対値 $ \rho(j) $ が果たす役割は何か？
• RQ5 各生成における最小および最大ボックスサイズは、ランダム環境下での閾値時間 $ H_{m,j} $ および $ G_{m,j} $ にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿では、$ \liminf_{m \to \infty} \frac{1}{\ln m} H_{m,j} \geq \zeta^* $ がほとんど確実に成り立つことを示しており、$ \zeta^* $ はランダム環境のスペクトル的性質から導かれる定数である。
• 条件 (8)、(9)、(10) の下で、$ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{\ln m} G_{m,j} = \zeta_* $ がほとんど確実に成り立つことを証明しており、$ \zeta_* $ は最小ボックスサイズの成長率に関連する。
• $ H_{m,j} $ の漸近的挙動は、各生成における最大ボックスサイズによって支配され、閾値時間は $ m $ の対数関数的にスケーリングされ、決定的ケースと同様の性質を示すが、定数がランダム遷移構造に依存して修正される。
• $ G_{m,j} $ の飽和時間は、各生成における最小ボックスサイズに依存し、その漸近的成長は最小ボックスサイズの指数的減衰率の逆数によって決定される。
• 本稿の結果は、シュパンコウスキーの古典的 $ j $-トライ結果をランダム環境の状況に拡張したものであり、$ H_{m,j} $ および $ G_{m,j} $ の対数スケーリングが維持されることを示しているが、定数はランダム遷移構造に依存する。
• 解析は、占有過程を指数分布変数とカップリングし、ボレル＝カンテリ補題を用いて極端なボックスサイズにおけるレアイベントを制御することに依存している。