[論文レビュー] Asymptotics of the stress concentration in high-contrast elastic composites

Haigang Li, Longjuan Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 49被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、材料係数が無限大に近づく高対比な弾性複合材料において、近接した不純物を有するラメ系の解の勾配の漸近的爆発表現を確立する。応力集中の爆発率が隣接界面の相対的凸性に依存することを特定し、明示的な爆発因子行列を導出し、このような媒体におけるバブーシュカ問題を完全に解決する。

ABSTRACT

A long-standing area of materials science research has been the study of electrostatic, magnetic, and elastic fields in composite with densely packed inclusions whose material properties differ from that of the background. For a general elliptic system, when the coefficients are piecewise Hölder continuous and uniformly bounded, an $\varepsilon$-independent bound of the gradient was obtained by Li and Nirenberg \cite{ln}, where $\varepsilon$ represents the distance between the interfacial surfaces. However, in high-contrast composites, when $\varepsilon$ tends to zero, the stress always concentrates in the narrow regions. As a contrast to the uniform boundedness result of Li and Nirenberg, in order to investigate the role of $\varepsilon$ played in such kind of concentration phenomenon, in this paper we establish the blow-up asymptotic expressions of the gradients of solutions to the Lamé system with partially infinite coefficients in dimensions two and three. We discover the relationship between the blow-up rate of the stress and the relative convexity of adjacent surfaces, and find a family of blow-up factor matrices with respect to the boundary data. Therefore, this work completely solves the Babuuska problem on blow-up analysis of stress concentration in high-contrast composite media. Moreover, as a byproduct of these local analysis, we establish an extended Flaherty-Keller formula on the global effective elastic property of a periodic composite with densely packed fibers, which is related to the "Vigdergauz microstructure" in the shape optimization of fibers.

研究の動機と目的

• 近接した不純物を有する高対比な弾性複合材料における応力集中に関する長年のバブーシュカ問題を解決すること。
• 不純物間の距離εが0に近づくとき、ラメ系の解の勾配の漸近的挙動を分析すること。
• 爆発率が界面境界の幾何的性質、特に相対的凸性にどのように依存するかを特定すること。
• 境界データと幾何的形状に依存する明示的な爆発因子行列を導出すること。
• 密に詰められた繊維を有する周期的複合材料におけるグローバル有効弾性特性のフラーハンシー＝ケラー公式を拡張すること。

提案手法

• 2次元および3次元における部分的に無限大の係数を有するラメ系を、摂動法を用いて分析する。
• 狭い領域における勾配増大を制御するため、切り捨て関数とエネルギー推定に基づく反復スキームを適用する。
• 部分積分、ホルダーの不等式、コーシーの不等式を用いて、勾配のL²およびL∞推定を導出する。
• 界面付近のε依存挙動を扱うために、適切に選択された切り捨て半径を用いた二重反復技術を導入する。
• スケーリング議論と局所的L∞推定を用いて、勾配を距離εおよび境界の幾何的形状で有界化する。
• 不純物間の細い接続部付近での勾配挙動の漸近的解析を通じて、爆発因子行列を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高対比な弾性複合材料において、近接した不純物間の距離εが0に近づくとき、変位場の勾配はどのように爆発するか？
• RQ2 爆発率が隣接する界面表面の相対的凸性にどのように依存するか？
• RQ3 境界データおよび幾何的形状が応力集中に与える影響を捉える明示的な爆発因子行列を導出可能か？
• RQ4 勾配の漸近的挙動は、密に詰められた繊維を有する周期的複合材料の有効弾性特性とどのように関係するか？
• RQ5 古典的なフラーハンシー＝ケラー公式は、高対比かつ密に詰められた繊維配置を考慮するためにどの程度拡張可能か？

主な発見

• 応力勾配の爆発率は、隣接界面の相対的凸性と定量的に関連しており、より強い凸性はより速い爆発を引き起こす。
• 境界データおよび不純物の幾何的形状に依存する明示的な爆発因子行列の族が導出された。
• 高対比不純物の場合、爆発率はε^(−1)に比例することが示され、高次の補正項は次元および相対的凸性に依存する。
• |z′| ≤ ε^(1/m) の場合、勾配の爆発は Cε^d × ε^(2(m−2)/m) に対して α = 1,…,d で有界であり、α = d+1,…,d(d+1)/2 に対しては Cε^d で有界である。
• |z′| > ε^(1/m) の場合、爆発率は α = 1,…,d に対して |z′|^(md) × |z′|^(2(m−2)) に比例し、α = d+1,…,d(d+1)/2 に対しては |z′|^(md) に比例する。
• 密に詰められた繊維を有する周期的複合材料に対して、拡張されたフラーハンシー＝ケラー公式が確立され、有効弾性率がヴィグデルガウツ微細構造と関連づけられた。