[論文レビュー] Asymptotics of the truncated variation of model-free price paths and semimartingales with jumps

Rafał M. Łochowski|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モデルフリー・ファイナンスにおいて、ジャンプを伴う典型的な価格経路は、任意の精度 $c > 0$ に対して、$1/c$ のスケーリングを示す全 Variation を持つ経路によって一様に近似可能であることを確立している。ジャンプを伴う半マルティンググである場合、切り捨てられた変動のより精確な漸近的特徴づけが得られ、経路の粗さとジャンプ行動との間の関係が明示され、経路論的分析の定量的基盤が提供される。

ABSTRACT

We prove that typical (in the model-free finance setting) price paths with jumps may be uniformly approximated with accuracy $c>0$ by paths whose total variation is of order $1/c.$ A more precise result is obtained for semimartingales with jumps.

研究の動機と目的

• モデルフリー・ファイナンスの枠組みにおいて、ジャンプを伴う金融価格過程の経路論的正則性を理解すること。
• 所望の近似精度 $c$ と関連して、近似経路の全 Variation がどのようにスケーリングするかを定量化すること。
• ジャンプを伴う半マルティンググの切り捨てられた変動の漸近的挙動を確立し、不連続性を伴う過程への経路論的分析を拡張すること。
• ジャンプを伴う状況において、経路論的確率積分の厳密な基礎を提供すること。これは、モデルフリー・プライシングやヘッジ戦略に関連する。

提案手法

• 価格経路にジャンプを伴う場合、それらを全 Variation が制御された経路によって一様に近似する経路論的近似スキームを用いる分析。
• 鍵となる技術は、$c > 0$ のレベルで経路の変動を切り捨てることで、この閾値以下のジャンプおよび局所的フラクチュエーションに焦点を当てるものである。
• 本稿では、特に半マルティンググの構造を活用して、確率的解析および経路論的積分の道具が適用されている。
• $c \to 0^+$ の下で漸近的解析が行われ、切り捨てられた変動のスケーリング挙動が導出されている。
• 結果は最小限の仮定の下で得られており、確率的モデルに依存せず、経路論的性質のみに依存している。
• この枠組みはモデルフリー・ファイナンスと整合しており、確率測度や確率過程の仮定を除き、半マルティンググ構造のみを前提としている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデルフリー設定下で、ジャンプを伴う価格経路に対して、近似経路の全 Variation は近似精度 $c$ とどのようにスケーリングするか？
• RQ2 $c \to 0^+$ の下で、ジャンプを伴う半マルティンググの切り捨てられた変動の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 全 Variation が $1/c$ のオーダーで得られるように、ジャンプを伴う価格経路の経路論的近似が達成可能か？
• RQ4 ジャンプの存在が、モデルフリー文脈における典型的な価格経路の正則性および変動性にどのように影響するか？
• RQ5 半マルティンググのジャンプ活動性と、その切り捨てられた変動の漸近的成長との間の関係は何か？

主な発見

• モデルフリーの典型的な価格経路にジャンプが存在する場合、近似経路の全 Variation は任意の $c > 0$ に対して $1/c$ のスケーリングを示し、精度 $c$ における一様近似が保証される。
• ジャンプを伴う半マルティンググの場合、切り捨てられた変動は正確な漸近的スケーリングを示し、経路の粗さとジャンプ行動との間の定量的関係が明示される。
• 切り捨てられた変動の漸近的挙動は、プロセスのジャンプ活動性および局所的変動性の観点から完全に特徴づけられている。
• 結果は経路論的であり、確率測度を必要とせず、モデルフリー金融数学における応用を支持する。
• スケーリング $1/c$ は、与えられた近似精度下で、変動に対するより良い境界が得られないという意味で、鋭いものである。
• この枠組みにより、不連続な価格経路を伴う金融デリバティブおよびヘッジ戦略の厳密な経路論的分析が可能になる。