[論文レビュー] Atomic decomposition of product Hardy spaces via wavelet bases on spaces of homogeneous type

Yongsheng Han, Ji Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、同型空間の積空間 $\widetilde{X} = X_1 \times X_2$ 上の積 Hardy 空間 $H^p(\widetilde{X})$ に対して、準距離や倍加測度に関する追加仮定なしに、正規直交ウェーブレット基底とデイック型グリッドを用いてアトム分解を確立する。主な結果として、積 Hardy 空間および関連する BMO 型空間がウェーブレットやデイック型グリッドの選択に依存しないこと、およびすべての $q > 1$ に対して $H^p(\widetilde{X})$ が積アトム Hardy 空間 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ と一致することを示す。証明はジュルン・タイプの被覆補題と、$(p,q)$-アトムを用いたウェーブレット展開の $L^p$-ノルムの精密な推定に依拠する。

ABSTRACT

We provide an atomic decomposition of the product Hardy spaces $H^p(\widetilde{X})$ which were recently developed by Han, Li, and Ward in the setting of product spaces of homogeneous type $\widetilde{X} = X_1 imes X_2$. Here each factor $(X_i,d_i,μ_i)$, for $i = 1$, $2$, is a space of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss. These Hardy spaces make use of the orthogonal wavelet bases of Auscher and Hytönen and their underlying reference dyadic grids. However, no additional assumptions on the quasi-metric or on the doubling measure for each factor space are made. To carry out this program, we introduce product $(p,q)$-atoms on $\widetilde{X}$ and product atomic Hardy spaces $H^{p,q}_{ m at}(\widetilde{X})$. As consequences of the atomic decomposition of $H^p(\widetilde{X})$, we show that for all $q > 1$ the product atomic Hardy spaces coincide with the product Hardy spaces, and we show that the product Hardy spaces are independent of the particular choices of both the wavelet bases and the reference dyadic grids. Likewise, the product Carleson measure spaces ${ m CMO}^p(\widetilde{X})$, the bounded mean oscillation space ${ m BMO}(\widetilde{X})$, and the vanishing mean oscillation space ${ m VMO}(\widetilde{X})$, as defined by Han, Li, and Ward, are also independent of the particular choices of both wavelets and reference dyadic grids.

研究の動機と目的

• Coifman と Weiss の定義に従い、同型空間 $X_i$ を用いた積空間 $\widetilde{X} = X_1 \times X_2$ 上の同型空間における積 Hardy 空間 $H^p(\widetilde{X})$ のアトム分解を確立すること。
• 積 $(p,q)$-アトムとそれに関連する積アトム Hardy 空間 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ を定義し、分解のための道具として研究すること。
• 最小限の幾何的仮定の下で、すべての $q > 1$ に対して積 Hardy 空間 $H^p(\widetilde{X})$ が $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ と一致することを証明すること。
• 積 Hardy 空間、Carleson 測度空間 $\text{CMO}^p(\widetilde{X})$、および BMO と VMO 空間が、ウェーブレット基底や基準デイック型グリッドの選択に依存しないことの証明。

提案手法

• 著者らは、積構造および基礎となる空間の幾何に適合したサイズ条件とキャンセル条件を満たす $\widetilde{X}$ 上の積 $(p,q)$-アトムを導入する。
• Auscher と Hyt€n€en が同型空間上に構築した正規直交ウェーブレット基底を用い、これはデイック型グリッドに依存し、再構成公式および滑らかさの性質を満たす。
• デイック立方体の重なりを制御し、ウェーブレット展開の $L^p$-ノルムをアトムノルムで推定するために、ジュルン・タイプの被覆補題を用いる。
• アトム分解の証明は、ホルダーの不等式およびウェーブレット係数の $L^q$-ノルム推定に依拠し、倍加条件と上界次元 $\omega_i$ を用いた測度の増加の精密な制御が行われる。
• アトムのキャンセル性とウェーブレットの滑らかさを用いて、アトムの台から離れた領域からの寄与を抑え、異なるデイック型グリッドにわたる一様性を保証する。
• ウェーブレット基底およびグリッドの選択に依存しないことの証明は、幾何的パrameterにのみ依存する定数を用いて、異なる選択肢間でのアトムノルムが同値であることを示すことによって達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準距離や倍加測度に関する追加仮定なしに、同型空間の積空間上での積 Hardy 空間 $H^p(\widetilde{X})$ に対してアトム分解を確立できるか？
• RQ2 すべての $q > 1$ に対して、積 Hardy 空間 $H^p(\widetilde{X})$ が積アトム Hardy 空間 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ と等価であるか？
• RQ3 $\widetilde{X}$ 上の積 Hardy 空間、BMO、VMO、および Carleson 測度空間は、ウェーブレット基底や基準デイック型グリッドの選択に依存するか？
• RQ4 準距離の正則性仮定がない状況で、$H^p(\widetilde{X})$ 内の関数のウェーブレット展開をアトムノルムでどのように制御できるか？

主な発見

• すべての $q > 1$ に対して、積 Hardy 空間 $H^p(\widetilde{X})$ は積 $(p,q)$-アトムによるアトム分解を有し、アトムノルムは $H^p$-ノルムと同値である。
• すべての $q > 1$ に対して、積アトム Hardy 空間 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ は積 Hardy 空間 $H^p(\widetilde{X})$ と一致し、定義の等価性が確立される。
• 積 Hardy 空間 $H^p(\widetilde{X})$、Carleson 測度空間 $\text{CMO}^p(\widetilde{X})$、および BMO と VMO 空間は、正規直交ウェーブレット基底および基準デイック型グリッドの選択に依存しない。
• ノルムの同値性における定数は、$p$、$q$、および空間の幾何的定数（準三角定数 $A_0^{(i)}$、倍加定数 $C_\mu^{(i)}$、上界次元 $\omega_i$）にのみ依存する。
• 証明はジュルン・タイプの被覆補題とウェーブレット展開の $L^p$-推定に依拠し、鍵となるステップは、アトムおよび測度論的量で表される $B_{11}$ と $B_{12}$ の一様有界性の確立である。
• ウェーブレットおよびグリッドの選択に依存しないことの証明は、幾何的パrameterにのみ依存する定数を用いて、異なる選択肢間でのアトムノルムが一様に同値であることを示すことによって達成される。