[論文レビュー] Attractors for singularly perturbed hyperbolic equations on unbounded domains

Martino Prizzi, Krzysztof P. Rybakowski|ArXiv.org|Mar 21, 2007

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非有界領域における特異摂動超仮性方程式のグローバル吸引点の上半連続性を確立し、HaleとRaugelの結果を、臨界成長非線形項、非有界領域、滑らでない係数を許容することで拡張する。ε → 0 のとき、H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) における摂動パラメータ ε に対応する吸引点 𝒜_ε が、極限放物方程式の吸引点 𝒜₀ に収束することを証明する。

ABSTRACT

For an arbitrary unbounded domain $Ω\subset\R^3$ and for $\eps>0$, we consider the damped hyperbolic equations \leqno{(H_\eps)} \eps u_{tt}+ u_t+β(x)u- \sum_{ij}(a_{ij}(x) u_{x_j})_{x_i}&=f(x,u),\quad x\in Ω, t\in o0,\infty.., u(x,t)&=0,\quad x\in \partial Ω, t\in o0,\infty... and their singular limit as $\eps o0$, i.e. the parabolic equation \leqno{(P)} u_t+β(x)u- \sum_{ij}(a_{ij}(x)u_{x_j})_{x_i}&=f(x,u),\quad x\in Ω, t\in o0,\infty.., u(x,t)&=0,\quad x\in \partial Ω, t\in o0,\infty... Under suitable assumptions, $(H_\eps)$ possesses a compact global attractor $\Cal A_\eps$ in the phase space $H^1_0(Ω) imes L^2(Ω)$, while $(P)$ possesses a compact global attractor $\widetilde{\Cal A_0}$ in the phase space $H^1_0(Ω)$, which can be embedded into a compact set ${\Cal A_0}\subset H^1_0(Ω) imes L^2(Ω)$. We show that, as $\eps o0$, the family $({\Cal A_\eps})_{\eps\in[0,\infty[}$ is upper semicontinuous with respect to the topology of $H^1_0(Ω) imes H^{-1}(Ω)$. We thus extend a well known result by Hale and Raugel in three directions: first, we allow $f$ to have critical growth; second, we let $Ω$ be unbounded; last, we do not make any smoothness assumption on $\partialΩ$, $β(\cdot)$, $a_{ij}(\cdot)$ and $f(\cdot,u)$.

研究の動機と目的

• HaleとRaugelの吸引点半連続性に関する結果を非有界領域へ拡張すること。
• 非線形項 f(x,u) が臨界成長をとることを許容し、単なる亜臨界成長に限らないこと。
• 領域境界 ∂Ω、係数 β(x)、a_ij(x)、および f(x,u) に対する滑らかさ仮定を除去すること。
• H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 位相における吸引点収束を確立すること、H¹₀(Ω) × L²(Ω) 位相でのみではないこと。
• 家族 (𝒜_ε)ε∈[0,∞[ が ε = 0 で上半連続であることを証明すること。

提案手法

• 非有界領域 Ω ⊂ ℝ³ における減衰超仮性方程式 εu_tt + u_t + β(x)u - ∑(a_ij(x)u_xj)_xi = f(x,u) を分析する。
• ε → 0 の特異極限を検討し、放物方程式 u_t + β(x)u - ∑(a_ij(x)u_xj)_xi = f(x,u) に至る。
• Hilbert空間 H¹₀(Ω) および H⁻¹(Ω) における弱収束と補間を用いたコンパクト性の議論を用いる。
• エネルギー推定と弱収束を用いた背理法により、コンパクト時間区間における H¹₀(Ω) での強い収束を示す。
• H₀ と H⁻¹ の間の補間を用いて、収束を H₀ から α ∈ (0,1] に対して H⁻α へ強化する。
• ε ∈ (0,ε₀] に対して ε に依存しない 𝒜_ε の一様有界性を保証し、目的の位相における前コンパクト性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異摂動超仮性方程式のグローバル吸引点 𝒜_ε は、非有界領域において ε → 0 のとき上半連続性を保つのか？
• RQ2 f(x,u) が臨界成長をとる場合、半連続性の結果を拡張できるか？
• RQ3 ∂Ω や係数 β(x)、a_ij(x)、f(x,u) が滑らでない場合でも、上半連続性は保たれるか？
• RQ4 H¹₀(Ω) × L²(Ω) 位相ではなく、H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 位相における収束を確立できるか？
• RQ5 小さな ε > 0 に対して、非有界領域における吸引点 𝒜_ε の正則性およびコンパクト性の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 超仮性方程式 (H_ε) は、各 ε > 0 に対して位相空間 H¹₀(Ω) × L²(Ω) におけるコンパクトなグローバル吸引点 𝒜_ε を有する。
• 極限放物方程式 (P) は、H¹₀(Ω) におけるコンパクトなグローバル吸引点 𝒜₀ を有し、H¹₀(Ω) × L²(Ω) に埋め込める。
• 家族 (𝒜_ε)ε∈[0,∞[ は、H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) 位相において ε = 0 で上半連続である。
• 収束はコンパクト時間区間上で一様に成立し、H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) のノルムにおいて成り立つ。
• 𝒜_ε が H¹₀(Ω) × H⁻¹(Ω) で ε に依存しない一様有界性が確立され、背理法の根拠が得られる。
• ∂Ω、β(x)、a_ij(x)、f(x,u) の滑らかさを仮定せず、f(x,u) の臨界成長を許容する結果が得られる。