[論文レビュー] Aubry-Mather theory and Lipschitz continuity of the time separation

Stefan Suhr|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一様なヴィサス性（uniform viciousness）を備えた、コンpaktoかつヴィサスな時空（compact, vicious spacetimes）で、そのアーベル被覆が全体的に双曲的であるクラス A₁ 時空を導入することにより、Lorentz幾何におけるAubry-Mather理論を前進させる。このクラスでは、少なくとも $∕𝔵 H_1(M,\mathbb{R})$ 個の幾何的に異なる時空的最適化曲線（timelike maximizers）の存在を確立し、修正された安定時空錐 $∕𝔵_ε \setminus B_K(0)$ 上で時間分離関数のリプシッツ連続性を証明する。これは、非コンパクトなLorentz的設定におけるBusemann関数および測地線流の解析における主要な障害を解消する。

ABSTRACT

We consider Aubry-Mather theory for a subclass of class A spacetimes, i.e. compact vicious spacetimes with globally hyperbolic Abelian cover. In this subclass, called class A_1, we obtain improved results on timelike maximizers and Lipschitz continuity of the time separation of the Abelian cover on the i.g. optimal subsets.

研究の動機と目的

• クラス A 時空の部分クラス、すなわち一様なヴィサス性により時空的最適化曲線に対するより強い制御が得られるクラス A₁ 時空へのAubry-Mather理論の拡張を図ること。
• 時空的最適化曲線の非一様な接線挙動の問題を解消するため、一様な家族条件を導入し、時間分離がゼロとなる病理的極限測度を除外すること。
• アーベル被覆上での時間分離関数のリプシッツ連続性の証明を進め、これは、全体的に双曲的な時空におけるBusemann関数および測地線流の解析における重要なステップである。
• クラス A₁ 時空において、$∕𝔵 H_1(M,\mathbb{R})$ 個の幾何的に異なる時空的最適化曲線の存在を幾何的基盤づけ、クラス A 時空における既存の結果を改善すること。

提案手法

• 連続的な時空的ループ族と適切な基点評価を用いて、一様なヴィサス性の概念を導入し、一様に有界な時空的最適化曲線の存在を保証する。
• 一様な家族条件を用いて、時間分離がゼロ（$∕𝔵(\mu_0) = 0$）となる極限測度を除外しつつ、正の分離を持つ測度（$∕𝔵(\mu_1) > 0$）を保持することで、$∕𝔵 H_1(M,\mathbb{R})$ 個の異なる最適化曲線の構成を可能にする。
• 命題 3.4 の手法を適用し、共線（co-rays）の接線を制御し、時間分離のリプシッツ連続性に必要な「時空的共線」条件を検証する。
• 最適な定義域 $\mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_K(0)$ を定義し、ここでは時間分離関数がリプシッツ連続であるとし、$∕𝔵_ε$ は安定時空錐の境界から $ε$ 離れた領域であり、$B_K(0)$ は原点の近傍を除くことで特異性を回避する。
• Gau{̈}ssの補題と凸正規近傍を活用し、因果的曲線が因果的曲線を介して、区分的滑らかで未来指向、または時空的曲線にホモトープにできると示す。
• 正規近傍内での測地線の収束性を用いて、未来指向測地線の極限が依然として未来指向であることを証明し、時空的性質が極限においても安定であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス A 時空に一様な時空的ループ族が存在する場合、$∕𝔵 H_1(M,\mathbb{R})$ 個の幾何的に異なる時空的最適化曲線が存在するか？
• RQ2 クラス A₁ 時空のアーベル被覆上での時間分離関数が、修正された安定時空錐 $∕𝔵_ε \setminus B_K(0)$ 上でリプシッツ連続であることを示せるか？
• RQ3 時間分離がゼロとなる極限測度を持つ時空的最適化曲線の存在を防ぐ条件は何か？ これは回転類の完全基底構成を妨げる障害である。
• RQ4 一様なヴィサス性条件は、光円錐に接線が近づく、または一様に有界でないサポートを示すような測地線流の病理的挙動をどのように排除するか？
• RQ5 時間分離関数のリプシッツ連続性が、共形平坦または2次元例に限定されない範囲でどの程度一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、任意のクラス A₁ 時空に対して、$\dim H_1(M,\mathbb{R})$ 個以上の最大エルゴード測度 $\mu_k$ が存在することを証明しており、それらの回転類が $H_1(M,\mathbb{R})$ の基底をなしており、かつそれらの台が光円錐から $\varepsilon > 0$ 以上に一様に離れていることを示している。
• アーベル被覆上での時間分離関数 $d(x,y)$ は、集合 $\{(x,y) \in \overline{M} \times \overline{M} \mid y - x \in \mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_{K(\varepsilon)}(0)\}$ 上で $L(\varepsilon)$-リプシッツ連続であり、すべての $\varepsilon > 0$ に対して $L(\varepsilon)$ と $K(\varepsilon)$ は有限である。
• 最適な定義域 $\mathfrak{T}_\varepsilon \setminus B_K(0)$ は、リプシッツ連続性の必要十分条件であることが、Lorentz的Hedlundモデルにおける反例によって示されている。ここでは $B_K(0)$ を除くことで、微分係数の発散を回避する必要がある。
• 一様なヴィサス性条件により、安定時空錐 $\mathfrak{T}^\circ$ の内部に回転類をもつ最大不変測度が、時間分離がゼロとなる極限測度をもつことはない。これにより、完全基底構成の障害が排除される。
• リプシッツ連続性の証明は、命題 3.4 における接線ベクトルの制御を通じて「時空的共線」条件を検証することに依存しており、[4] および [2] の手法をLorentz的設定に適応したものである。
• 本稿は、任意の因果的曲線が因果的曲線を介して、区分的滑らかで未来指向の曲線にホモトープにできることを確立している。また、このような曲線の極限は依然として未来指向であり、時空的構造の安定性が保証される。