[論文レビュー] Augmented Sparsifiers for Generalized Hypergraph Cuts.

Austin R. Benson, Jon Kleinberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 60被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スパースな有向グラフを用いて、サブモジュラな基数に基づく分割関数を用いた一般化されたハイパーグラフカットを近似するスパarsificationフレームワークを導入し、より高速な近似 min $s$-$t$ カットアルゴリズムを可能にする。凹関数を区分的線形曲線で近似することで、各ハイパーエッジを $O(\varepsilon^{-1}|e|\log|e|)$ 条に削減し、密な還元と比較してランタイム効率を顕著に向上させる。

ABSTRACT

In recent years, hypergraph generalizations of many graph cut problems have been introduced and analyzed as a way to better explore and understand complex systems and datasets characterized by multiway relationships. Recent work has made use of a generalized hypergraph cut function which for a hypergraph $\mathcal{H} = (V,E)$ can be defined by associating each hyperedge $e \in E$ with a splitting function ${\bf w}_e$, which assigns a penalty to each way of separating the nodes of $e$. When each ${\bf w}_e$ is a submodular cardinality-based splitting function, meaning that ${\bf w}_e(S) = g(|S|)$ for some concave function $g$, previous work has shown that a generalized hypergraph cut problem can be reduced to a directed graph cut problem on an augmented node set. However, existing reduction procedures often result in a dense graph, even when the hypergraph is sparse, which leads to slow runtimes for algorithms that run on the reduced graph. We introduce a new framework of sparsifying hypergraph-to-graph reductions, where a hypergraph cut defined by submodular cardinality-based splitting functions is $(1+\varepsilon)$-approximated by a cut on a directed graph. Our techniques are based on approximating concave functions using piecewise linear curves. For $\varepsilon > 0$ we need at most $O(\varepsilon^{-1}|e| \log |e|)$ edges to reduce any hyperedge $e$, which leads to faster runtimes for approximating generalized hypergraph $s$-$t$ cut problems. For the machine learning heuristic of a clique splitting function, our approach requires only $O(|e| \varepsilon^{-1/2} \log \log \frac{1}{\varepsilon})$ edges. This sparsification leads to faster approximate min $s$-$t$ graph cut algorithms for certain classes of co-occurrence graphs. Finally, we apply our sparsification techniques to develop approximation algorithms for minimizing sums of cardinality-based submodular functions.

研究の動機と目的

• 既存のハイパーグラフからグラフへの還元が密なグラフを生成し、$s$-$t$ カットアルゴリズムの速度を低下させることへの効率性の欠如に対処する。
• より少ないエッジを用いて、$(1+\varepsilon)$-精度で一般化されたハイパーグラフカットを近似するスパース化技術を開発する。
• 共起性グラフにおけるハイパーエッジの複雑さを低減することで、近似 min $s$-$t$ カット計算を高速化する。
• 基数に基づくサブモジュラ関数の和を最小化するための効率的な近似アルゴリズムを提供する。

提案手法

• サブモジュラな基数に基づく分割関数をモデル化するため、凹関数を区分的線形曲線で近似する。
• 各ハイパーエッジをサイズ $O(\varepsilon^{-1}|e|\log|e|)$ のスパースな部分グラフに置き換える拡張された有向グラフを構築する。
• すべてのノード分割に対して、結果のグラフがハイパーグラフカット値を $1+\varepsilon$ 要因以内に保つことを保証する。
• クリーク分割関数にスパース化を適用し、ハイパーエッジあたり $O(|e|\varepsilon^{-1/2}\log\log\frac{1}{\varepsilon})$ 条のエッジを達成する。
• スパースなグラフ構造を活用して、共起性グラフ上の min $s$-$t$ カットアルゴリズムを高速化する。
• スパース化還元を用いて、サブモジュラ関数の和を最小化する近似アルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(1+\varepsilon)$-近似カット値を保ちながら、ハイパーグラフからグラフへの還元におけるエッジ数を削減できるか？
• RQ2 サブモジュラな基数に基づく分割関数を有するハイパーエッジをスパース化するのに必要な最小エッジ数は何か？
• RQ3 クリーク分割関数のような特定の関数では、スパース化のパフォーマンスはどのように変化するか？
• RQ4 スパース化還元は、実際の近似 min $s$-$t$ カット計算を高速化できるか？
• RQ5 スパース化還元フレームワークは、サブモジュラ関数の和を最小化する問題に拡張可能か？

主な発見

• 提案手法により、各ハイパーエッジが $(1+\varepsilon)$-近似された一般化ハイパーグラフカットを保ちながら、$O(\varepsilon^{-1}|e|\log|e|)$ 条のエッジに削減される。
• クリーク分割関数では、エッジ数が $O(|e|\varepsilon^{-1/2}\log\log\frac{1}{\varepsilon})$ に削減され、一般の境界値よりも向上する。
• スパース化により、グラフの密度が低減されるため、共起性グラフ上での近似 min $s$-$t$ カットアルゴリズムが高速化される。
• このフレームワークにより、基数に基づくサブモジュラ関数の和を最小化するための効率的な近似アルゴリズムが可能になる。
• 凹関数の区分的線形近似の使用により、正確でスケーラブルなカット近似が実現できる。