[論文レビュー] Automatic shape derivatives for transient PDEs in FEniCS and Firedrake

Jørgen S. Dokken, Sebastian K. Mitusch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、FEniCSおよびFiredrakeにおける高水準の自動微分フレームワークを提示し、時間依存で非線形なPDEに対して、静的および変形する領域の両方における一次および二次形状微分を自動的に計算する。dolfin-adjointを拡張して、変分形式の記号的変形を用いてメッシュの変化を追跡することで、離散的に整合性のある効率的な形状最適化が可能となり、テイラー試験による収束の検証が可能となる。

ABSTRACT

In industry, shape optimization problems are of utter importance when designing structures such as aircraft, automobiles and turbines. For many of these applications, the structure changes over time, with a prescribed or non-prescribed movement. Therefore, it is important to capture these features in simulations when optimizing the design of the structure. Using gradient based algorithms, deriving the shape derivative manually can become very complex and error prone, especially in the case of time-dependent non-linear partial differential equations. To ease this burden, we present a high-level algorithmic differentiation tool that automatically computes first and second order shape derivatives for partial differential equations posed in the finite element frameworks FEniCS and Firedrake. The first order shape derivatives are computed using the adjoint method, while the second order shape derivatives are computed using a combination of the tangent linear method and the adjoint method. The adjoint and tangent linear equations are symbolically derived for any sequence of variational forms. As a consequence our methodology works for a wide range of PDE problems and is discretely consistent. We illustrate the generality of our framework by presenting several examples, spanning the range of linear, non-linear and time-dependent PDEs for both stationary and transient domains.

研究の動機と目的

• 有限要素フレームワークにおける時間依存で非線形なPDEの形状微分の自動計算を実現すること。
• 形状最適化問題において、静的および一時的（変形する）領域の両方をサポートすること。
• 高水準自動微分をメッシュ依存の変分形式に対応させるように拡張し、離散的一致性を実現すること。
• 一次および二次形状微分の正確性を、一次および二次微分のテイラー試験を用いて検証すること。
• 最小限のコードオーバヘッドで、線形・非線形・時間依存PDEに一般化可能なフレームワークの有効性を示すこと。

提案手法

• FEniCS/FiredrakeにおけるMeshクラスおよびアセンブリルーチンのオーバーロードにより、dolfin-adjointを拡張してメッシュ変形を追跡する。
• 一次形状微分は随伴法により計算され、形状パラメータの数に依存せず、単一の随伴PDEを独立して解く。
• 二次形状微分は接線線形法と随伴法の組み合わせにより計算され、ヘッセ行列の計算が可能となる。
• UFLによる変分形式の記号的変形を用い、Gâteux微分と参照要素へのプルバックによりメッシュ感度分析を実施。
• 計算グラフにメッシュパラメータを含め、メッシュ幾何の変化に伴う自動微分を可能にする。
• 高水準ADのパフォーマンス利点（近似的最適なメモリ使用量およびネイティブな並列処理サポート）をフレームワークが継承する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FEniCSおよびFiredrakeにおいて、時間依存で領域が変化するPDEの形状微分を、高水準自動微分で拡張して計算可能か。
• RQ2 記号的変分形式を用いて、非線形で時間発展するPDEの一次および二次形状微分を、どのように効率的かつ正確に計算できるか。
• RQ3 テイラー展開による検証において、計算された形状微分の収束特性はいかなるものか。
• RQ4 複雑で非線形なPDEにおいて、形状微分の評価コストは前方問題と比較してどの程度か。
• RQ5 メッシュ依存の変分形式を微分する際、フレームワークが離散的一致性をどの程度維持できるか。

主な発見

• 一次形状微分はテイラー試験で収束率約1.00を達成し、正しさが確認された。
• 二次形状微分では、一次微分項で収束率2.00、二次微分項で2.99～3.12を達成し、二次精度が確認された。
• 一次微分の随伴計算は前方計算（465.34 s）より高速（312.00 s）であり、非線形前方問題が1時間ステップあたり約2回のニュートン反復を要するためである。
• 二次微分計算には807.52 sを要し、前方計算時間の1.74倍であったが、高い複雑性にもかかわらずスケーラビリティが示された。
• 形状微分フレームワーク全体で追加コードは7行のみ、メッシュ変形の実装も26行で実現され、コードへの侵入は最小限に抑えられた。
• 14,808自由度を有する複雑なナビエ-ストークス問題に対しても正常に処理でき、実世界の産業問題への適用可能性が示された。