[論文レビュー] Automatic Theorem-Proving in Combinatorics on Words

Dane Henshall, Jeffrey Shallit|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

semigroups and automata theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限オートマトンとアルゴリズム的検証を用いて、組合せ論的語の定理を機械的に証明するための手続きを提示する。この手法を用いて、トゥエ＝モルス列における非境界因子に関する未解決問題を解き、すべての長さに対して非境界因子が存在することを証明した。さらに、この手法を、完全な計算的検証を伴って、ルーディン＝シャピロ列およびペーパーフォールディング列へと拡張した。

ABSTRACT

We describe a technique for mechanically proving certain kinds of theorems in combinatorics on words, using automata and a package for manipulating them. We illustrate our technique by solving, purely mechanically, an open problem of Currie and Saari on the lengths of unbordered factors in the Thue-Morse sequence.

研究の動機と目的

• 有限オートマトンとアルゴリズム的決定手続きを用いて、組合せ論的語における定理を完全に自動化された方法で証明する手法の開発。
• カリーとサアリが提起した、トゥエ＝モルス列にすべての長さの非境界因子が存在するかという未解決問題の解決。
• ルーディン＝シャピロ列やペーパーフォールディング列などの代表的な自動列に対して、この手法を拡張し、非境界因子の存在を特定する。
• オートマトンに基づく計算の正しさを、きめ細やかなテストと最小化手順によって検証する。
• 今後の研究の基盤を築くこと、特に自動列における異なる非境界因子の数の数え上げおよびアベールパワーの検出。

提案手法

• 本手法は、$k$-自動列を用い、出力を持つ有限オートマトンによって生成される。ここで、$n$ 番目の項は $n$ の $k$ 進表現から計算される。
• 列に関する論理的述語を、述語を満たす整数の $k$ 進表現を受理するオートマトンに変換する。
• 決定手続きは、補集合、積集合、サイクル検出などの閉包性質を用いて、存在的、全称的、無限的述語のためのオートマトンを構築することに依存する。
• 複数の整数の入力を扱うために、整数のペアやトリプルを $\Sigma_k^r$ 上の文字列としてエンコードし、先頭にゼロを追加した $k$ 進表現の逆順を用いる。
• 各段階の構築を検証するためのテストフレームワークを導入し、最初の 10,000 インデックスについて直接 C++ 関数で列の値を計算した結果とオートマトン出力を比較する。
• 決定化の過程での状態爆発を管理するため、決定化の前に NFA を反転させる手法を採用した。ルーディン＝シャピロの場合、最終的な DFA は 1 状態のオートマトンに最小化された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トゥエ＝モルス列には、すべての正の整数長の非境界因子が存在するか？
• RQ2 ルーディン＝シャピロ列には、すべての長さの非境界因子が存在するか？
• RQ3 ペーパーフォールディング列には、どの長さ $n$ に対して非境界因子が存在するか？
• RQ4 自動列における非境界因子の存在は、オートマトン理論的手法を用いてアルゴリズム的に決定可能か？
• RQ5 この手法を、自動列における長さ $n$ の異なる非境界因子の数を計算するのにも拡張可能か？

主な発見

• トゥエ＝モルス列には、すべての長さに対して非境界因子が存在し、カリーとサアリの未解決問題が解決された。
• トゥエ＝モルス列の計算は、2.9GHz のラップトップで 9 秒の CPU 時間で完了し、最小化後の最終オートマトンは 1,080 状態であった。
• ルーディン＝シャピロ列には、すべての長さに対して非境界因子が存在し、6 秒の計算で確認された。最終的な DFA は 30 状態であり、1 状態のオートマトンに最小化された。
• ペーパーフォールディング列には、長さ $n$ の非境界因子が存在するための必要十分条件は、$n$ の逆順 $2$ 進表現が特定の $4$ 状態のオートマトンによって拒否されることである。この条件は 6 秒の CPU 時間で検証された。
• 決定化の前に NFA を反転させることで、状態爆発を効果的に制御し、ルーディン＝シャピロの場合に最小 DFA の構築に成功した。
• テストフレームワーク（最初の 10,000 項について直接 C++ で計算した結果との比較を含む）により、オートマトン構築の各段階で正しさが保証された。