[論文レビュー] Automorphism groups of Beauville surfaces

Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、混合型でないタイプのブルヴィル表面の自己同型群を調査し、自己同型群 $A$ が有限可解群であり、$G$ の作用群の中心 $Z(G)$ に同型なアーベル正規部分群 $I$ を持つことを示している。外部自己同型群 $A/I$ は、 wreath 積 $S_3 \wr S_2$ に埋め込まれており、著者らは、$|A:I|$ が極端な値（1 または 72）であっても、任意の有限アーベル群が $I$ として実現可能であることを証明している。

ABSTRACT

This paper shows that the automorphism group of a Beauville surface is a finite solvable group, and describes its possible structure. It relies on results of Singerman on triangle group inclusions, and of Lucchini on generators for special linear groups.

研究の動機と目的

• 混合型でないタイプのブルヴィル表面 $\mathcal{S}$ の全自己同型群 $A = \mathrm{Aut}\,\mathcal{S}$ の構造を特徴づけること。
• $A$、内部自己同型群 $I \cong Z(G)$、外部自己同型群 $A/I$ の間の関係を特定すること。
• $A/I$ の大きさに関係なく、任意の有限アーベル群が、あるブルヴィル表面 $\mathcal{S}$ の内部自己同型群 $I$ として実現可能であることを示すこと。
• $A/I$ が最小値 2 および最大値 72 をとる例を構成し、可能な外部自己同型群の全範囲を達成すること。

提案手法

• シンマーマンの双曲的三角形群の包含関係に関する結果を用いて、$A/I$ を $S_3 \wr S_2$ の部分群として有界化する。
• ルッキーニの特殊線型群の生成元に関する結果を応用し、所望の中心 $Z(G)$ を持つブルヴィル構造を構成する。
• 有限単純群 $L_2(q)$ を用いて、三角形群の商を持つものを用い、明示的なブルヴィル構造を構築することで、望ましい自己同型群を実現する。
• $G$ の体自己同型および外部自己同型の作用を用いて、$\mathcal{S}$ 上に間接的自己同型を誘導し、$A^0$ を $A$ に拡張する。
• $\mathrm{Out}\,\mathcal{S} \cong A/I$ が $S_3 \wr S_2$ に埋め込まれており、これは位数 72 の群であるため、極端な場合を分析する。
• $A/I$ が $S_3 \wr S_2$ の部分群であることを示し、$S_3 \wr S_2$ は可解群であり、$I$ がアーベル群であることから、$A$ が可解群であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限アーベル群が、ブルヴィル表面 $\mathcal{S}$ の内部自己同型群 $I \cong Z(G)$ として実現可能か？
• RQ2 ブルヴィル表面 $\mathcal{S}$ の外部自己同型群 $A/I$ の可能な構造は何か？
• RQ3 外部自己同型群 $A/I$ が最大（$S_3 \wr S_2$ に同型）または最小（自明）となるようなブルヴィル表面を構成可能か？
• RQ4 ブルヴィル表面の自己同型群 $A$ が一般化されたディードラル群と同型になり得るか？
• RQ5 曲線 $\mathcal{C}_i$ の外部自己同型は、表面 $\mathcal{S}$ の自己同型にどのように引き上げられるか？

主な発見

• 混合型でないタイプのブルヴィル表面の自己同型群 $A$ は有限可解群である。
• 内部自己同型群 $I \cong Z(G)$ は $A$ のアーベル正規部分群であり、任意の有限アーベル群が、あるブルヴィル表面に対して $I$ として実現可能である。
• 外部自己同型群 $A/I$ は、位数 72 の wreath 積 $S_3 \wr S_2$ に埋め込まれる。
• 外部自己同型群が $A/I \cong S_3 \wr S_2$ に同型となるブルヴィル表面が存在する。これは、可能な最大の外部自己同型群を達成している。
• 外部自己同型群が自明となるブルヴィル表面が存在する。これは、可能な最小の外部自己同型群を達成している。
• 任意の有限一般化ディードラル群が、あるブルヴィル表面 $\mathcal{S}$ に対して全自己同型群 $A = \mathrm{Aut}\,\mathcal{S}$ として実現可能である。