[論文レビュー] Automorphism Groups of Quasi-galois Closed Arithmetic Schemes

Feng-Wen An|ArXiv.org|Jul 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、射影有限型の全射準同型 $ \phi$ により、算術的スキーム $X$ が別の算術的スキーム $Y$ に対して準ガロア閉であるならば、関数体 $k(X)$ は $k(Y)$ のガロア拡大であり、自己同型群 $\mathrm{Aut}(X/Y)$ はガロア群 $\mathrm{Gal}(k(X)/k(Y))$ に同型であることを確立する。さらに、$\dim X = \dim Y$ のとき、$X$ は $Y$ の擬ガロア被覆である。これは、複数変数の算術的スキームにおける古典的ガロア理論の一般化である。

ABSTRACT

Assume that $X$ and $Y$ are arithmetic schemes, i.e., integral schemes of finite types over $Spec(\mathbb{Z})$. Then $X$ is said to be quasi-galois closed over $Y$ if $X$ has a unique conjugate over $Y$ in some certain algebraically closed field, where the conjugate of $X$ over $Y$ is defined in an evident manner. Now suppose that $ϕ:X o Y$ is a surjective morphism of finite type such that $X$ is quasi-galois closed over $Y$. In this paper the main theorem says that the function field $ k(X)$ is canonically a Galois extension of $k(Y)$ and the automorphism group ${Aut}(X/Y)$ is isomorphic to the Galois group $Gal(k(X)/k(Y))$; in particular, $ϕ$ must be affine. Moreover, let $\dim X=\dim Y$. Then $X$ is a pseudo-galois cover of $Y$ in the sense of Suslin-Voevodsky.

研究の動機と目的

• 数体上の通常代数的多様体の一般化として、準ガロア閉算術的スキームの概念を定義し、研究すること。
• $X$ が $Y$ に対して準ガロア閉であるような準同型 $\phi: X \to Y$ の構造的性質および群論的性質を調査すること。
• このような準同型に対して、自己同型群 $\mathrm{Aut}(X/Y)$ とガロア群 $\mathrm{Gal}(k(X)/k(Y))$ の間の標準的同型を確立すること。
• $\dim X = \dim Y$ のとき、準同型 $\phi$ がサスリン＝ヴェドヴィスキーの意味で擬ガロア被覆であることを示すこと。
• 複数変数の関数体のガロア拡大を、算術的スキームを用いて幾何的モデル化すること。

提案手法

• 算術的スキーム $X$ を、関数体の代数的閉包において $Y$ に対して一意的な共役を持つものとして、$Y$ 上の準ガロア閉算術的スキームと定義する。
• アフィン開被覆と体の共役を用いて、$X$ 及びその $Y$ への自己同型の構造を分析する。
• 構造層を通じて体自己同型をスキーム自己同型に引き上げることで、標準的同型 $t: \mathrm{Aut}(X/Y) \to \mathrm{Gal}(k(X)/k(Y))$ を構成する。
• 不変環 $\mathcal{O}_Y \cong \phi_*(\mathcal{O}_X)^{\mathrm{Aut}(X/Y)}$ を示すことにより、準同型 $\phi$ がアフィン的であることを証明する。
• サスリン＝ヴェドヴィスキーの擬ガロア被覆に関する結果を適用し、$\phi$ が有限であり、$\dim X = \dim Y$ のとき $X$ が擬ガロア被覆であることを導く。
• アフィン開部分集合における貼り合わせ技術を用いて、局所的な共役から整合性を保つグローバル自己同型を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的スキームの全射有限型準同型 $\phi: X \to Y$ が、関数体のガロア拡大を誘導する条件は何か？
• RQ2 X が Y に対して準ガロア閉であるとき、自己同型群 $\mathrm{Aut}(X/Y)$ とガロア群 $\mathrm{Gal}(k(X)/k(Y))$ の関係は何か？
• RQ3 等しい次元をもつ算術的スキームの文脈において、準ガロア閉性の幾何的意味は何か？
• RQ4 準ガロア閉被覆は、複数変数の関数体の任意のガロア拡大の幾何的モデルとして機能できるか？
• RQ5 準ガロア閉性は、算術幾何における古典的正規代数的性の概念をどのように一般化するか？

主な発見

• X が Y に対して準ガロア閉であるとき、準同型 $\phi: X \to Y$ は必然的にアフィン的である。
• 関数体 $k(X)$ は $k(Y)$ の自然なガロア拡大であり、$[k(X):k(Y)] = |\mathrm{Gal}(k(X)/k(Y))|$ が成り立つ。
• 自然な群同型 $\mathrm{Aut}(X/Y) \cong \mathrm{Gal}(k(X)/k(Y))$ が存在し、スキーム自己同型と体ガロア自己同型の間の直接的対応関係が確立される。
• $\dim X = \dim Y$ のとき、準同型 $\phi$ は有限準同型であり、$X$ はサスリン＝ヴェドヴィスキーの意味で $Y$ の擬ガロア被覆である。
• 任意の $y \in Y$ に対して、$\mathrm{Aut}(X/Y)$ の作用はファイバー $\phi^{-1}(y)$ 上に推移的である。これは高い対称性を示している。
• 構造層は $\mathcal{O}_Y \cong \phi_*(\mathcal{O}_X)^{\mathrm{Aut}(X/Y)}$ を満たし、商の不変式理論的性質が裏付けられる。