[論文レビュー] On the existence of geometric models for function fields in several variables

Feng-Wen An|ArXiv.org|Sep 10, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、数体上の関数体の複数変数へのガロア拡大に対して、それを算術的スキームのアフィン準同型として実現することによって、明示的な幾何的モデルを構築する。主な貢献は、スーリン＝ヴェドヴスキーの擬似ガロア被覆を一般化する「準ガロア閉被覆」の存在を構成的証明することであり、これによりガロア群がスキーム被覆の自己同型群として実現される。

ABSTRACT

In this paper we will give an explicit construction of the geometric model for a prescribed extension of a function field in several variables over a number field. As a by-product, we will also prove the existence of quasi-galois closed covers of arithmetic schemes (in eprint arXiv:0907.0842).

研究の動機と目的

• 数体上の関数体の複数変数への所定のガロア拡大に対して幾何的モデルを確立すること。
• スーリン＝ヴェドヴスキーの意味での擬似ガロア被覆の概念を算術的スキームに一般化すること。
• 主な構成の副産物として、準ガロア閉被覆の存在を示すこと。
• 体の拡大のガロア群をスキーム準同型の自己同型群として実現すること。
• アフィンスキームの準同型を用いた、このような幾何的モデルを明示的かつ構成的に構築する方法を提供すること。

提案手法

• 与えられた算術的多様体 $Y$ の関数体が $K$ であるものとして、算術的多様体 $X$ と、$Y$ 上の全射的で、有限型かつアフィンな準同型 $f: X \to Y$ を構成する。
• ガロア拡大である $L/K$ を用いて、関数体 $k(X) = L$ を定義する。
• $k(X)$ の代数的閉包値をとる、$X$ の一意的な最大の簡約されたアフィン被覆を用いて、準ガロア閉性を保証する。
• 各局所環 $\mathcal{O}_X(U_\alpha)$ が $\mathcal{O}_Y(V_\alpha)$ 上に唯一の共役をもつ、あるいは被覆が共役条件を満たす場合に、$X$ が $Y$ 上で準ガロア閉であると定める。
• 補題 3.3 を用いて、その被覆の存在を保証する。これは一意性および共役性の性質を検証することで達成される。
• 文献[2]の主要定理に依拠し、自己同型群 $\mathrm{Aut}(X/Y)$ が $\mathrm{Gal}(L/K)$ に同型であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の関数体の複数変数へのガロア拡大に対して、幾何的モデルを明示的に構築できるか？
• RQ2 算術的スキームの被覆がガロア群をその自己同型群として実現するための条件は何か？
• RQ3 擬似ガロア被覆の概念を、多様体の範囲を越えて算術的スキームへ一般化する方法は何か？
• RQ4 スキームの被覆がどの条件下で基底スキーム上に準ガロア閉になるか？
• RQ5 与えられたガロア拡大と一致する関数体拡大を持つ、アフィンスキームの準同型を構成的に構築する方法はあるか？

主な発見

• 任意の数体上の関数体 $K$ の複数変数へのガロア拡大 $L/K$ に対して、明示的な幾何的モデルが存在する。
• 構成された準同型 $f: X \to Y$ はアフィン的かつ全射的であり、有限型であり、$k(X) = L$ かつ $k(Y) = K$ を満たす。
• 自己同型群 $\mathrm{Aut}(X/Y)$ はガロア群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ に同型であり、望ましい幾何的モデルが確立される。
• この構成により、スーリン＝ヴェドヴスキーの擬似ガロア被覆を算術的スキームに一般化した準ガロア閉被覆が得られる。
• このような被覆の存在は、共役性および整域性の条件を満たす一意的な最大の簡約されたアフィン被覆によって証明される。
• この方法により、ガロア拡大を算術的スキームの自己同型群として実現する体系的かつ構成的なアプローチが提供される。