[論文レビュー] Automorphisms of rational manifolds of positive entropy with Siegel disks

Keiji Oguiso, Fabio Perroni|ArXiv.org|May 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正のエントロピーを持つ自己同型と任意に多くのシーゲル円板を備えた、高次元の複素射影的有理多様体を構成する。McMullenの2次元例を拡張したものであり、McMullenの有理的表面とトーリック多様体の積構成に加え、固有値に関する数論的条件を適用することで、次元≥3、さらには≥4において、正確に1個または最大N個の算術的シーゲル円板を持つ自己同型を実現する。

ABSTRACT

Using McMullen's rational surface automorphisms, we construct projective rational manifolds of higher dimension admitting automorphisms of positive entropy with arbitrarily high number of Siegel disks and those with exactly one Siegel disk.

研究の動機と目的

• McMullenの2次元の有理的表面自己同型（正のエントロピーと1つの算術的シーゲル円板を有する）を高次元に拡張すること。
• 射影的多様体上の正のエントロピーを持つ自己同型が、1つをこえるシーゲル円板を有するかどうかを調査すること。
• 次元≥3において、正確に1個または任意に多くのシーゲル円板（すべて算術的）を持つ例を構成し、高次元における力学的複雑性に関する未解決問題を解消すること。
• 正のエントロピーとシーゲル円板の共存が高次元の有理的多様体で可能であることを確立し、ゼロエントロピーの場合と対照的にすること。

提案手法

• McMullenの有理的表面自己同型と射影的トーリック多様体の積構成を用いて、高次元多様体を構築する。
• Künneth分解を適用し、コホロジーのエントロピーを計算。誘導されたコホロジー作用のスペクトル半径により正の性質を保証する。
• 固有値に関する数論的条件を適用：固定点における積作用の固有値が、単位円上の乗法的独立な代数的整数であるように保証する。
• 局所座標で、線形化作用の固有値が乗法的独立な単位元（MAU）を形成するように、トーリック多様体上の整合性のある作用を構成する。
• p進解析と有限体上の固定点数え上げを用いて、固定点の数を検証し、シーゲル円板の唯一性または多重性を保証する。
• Salemのトレース多項式と逆多項式を用いて、代数的整数を介して力学的次数とエントロピーを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元≥3の射影的多様体上の正のエントロピーを持つ自己同型が、1つをこえるシーゲル円板を有することができるか？
• RQ2 偶数次元≥4において、正確に1つのシーゲル円板を有するような自己同型を構成することは可能か？
• RQ3 このような自己同型におけるシーゲル円板の数を任意に大きくできるか？
• RQ4 高次元力学系における複数のシーゲル円板の存在を保証する固有値に関する数論的条件は何か？
• RQ5 自己同型の積構成が、次元を跨いでシーゲル円板構造をどのように保存または生成するか？

主な発見

• 任意の整数n ≥ 4と任意のN ≥ 1に対して、非特異な複素射影的有理的n重多様体Xと、正のエントロピーと少なくともN個の算術的シーゲル円板を有する自己同型g ∈ Aut(X)が存在する。
• 3次元の非特異な複素射影的有理的3重多様体Xと、正のエントロピーと正確に2つの算術的シーゲル円板を有する自己同型g ∈ Aut(X)が存在する。
• 任意の偶数次元n ≥ 4に対して、非特異な複素射影的有理的n重多様体Xと、正のエントロピーと正確に1つの算術的シーゲル円板を有する自己同型g ∈ Aut(X)が存在する。
• 構成はMcMullenの有理的表面自己同型とトーリック多様体の積系に依拠しており、乗法的独立性を保証する固有値条件が鍵である。
• エントロピーh(g)は正であり、全偶数次元コホロジー上のg*のスペクトル半径の対数に等しく、これは代数的整数である。
• 複数のシーゲル円板の存在は、積作用における長さd+2の乗法的独立単位元（MAU）の構成により保証され、単位円上に独立な固有値を持つ局所線形化が保証される。