[論文レビュー] Dynamics of automorphisms on projective complex manifolds

De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、次元3以上である複素射影多様体上の自己同型の力学的挙動が、良い最小モデルプログラムの仮定のもとで、三つの基本的タイプ—複素トーラス、弱カバリヤー多様体、有理的連結多様体—によって自然に構成されることを確立する。主な結果として、3次元多様体におけるGuedjの予想が確認され、力学的挙動に基づいてその基本群が完全に分類される。

ABSTRACT

We show that the dynamics of automorphisms on all projective complex manifolds X (of dimension 3, or of any dimension but assuming the Good Minimal Model Program or Mori's Program) are canonically built up from the dynamics on just three types of projective complex manifolds: complex tori, weak Calabi-Yau manifolds and rationally connected manifolds. As a by-product, we confirm the conjecture of Guedj for automorphisms on 3-dimensional projective manifolds, and also determine pi_1(X).

研究の動機と目的

• 次元≥3の複素射影多様体上の自己同型の力学的挙動を分類すること。
• 高次元における自己同型の力学的挙動の標準的構成要素を特定すること。
• 3次元多様体におけるGuedjの予想（力学的次数とエントロピー）を確認すること。
• 正エントロピーを有する自己同型を有する多様体の基本群π₁(X)を計算すること。
• 双有理的次元が高くなる動的挙動を有する多様体は、Kodaira次元≤0または−∞であるものに限ることを確立すること。

提案手法

• 自己同型の力学的次数d₁(g)、d₂(g)およびトポロジカルエントロピーh(g)を用いて、自己同型の挙動を分類する。
• 真正に高次元の力学的挙動を分離するために、剛性パラボリックおよび原始的正エントロピー対(X,g)を導入する。
• 最小モデルプログラムと良い最小モデル仮定を用いて、分類をκ(X)≤0を満たす多様体に還元する。
• アーベリアン写像と最大有理的連結（MRC）線形系を用いて、ファイバー構造と双有理的モデルを分析する。
• ネフ線束と等変双有理幾何を用いて、gがコホホロジーおよびNéron-Severi群に作用する様子を研究する。
• 曲面におけるホッジ指数理論と交線論を活用し、分類を破る場合に矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの複素射影多様体が、低次元の力学的挙動に由来しない正エントロピーを有する自己同型を有するか？
• RQ2 すべての次元≥3の複素射影多様体上の自己同型の力学的挙動を支える標準的幾何的タイプは何か？
• RQ3 力学的次数d₁(g)、d₂(g)およびe^{h(g)}が一致し、サレム数をなす条件は何か？
• RQ4 基本群π₁(X)は、多様体X上の自己同型の力学的構造とどのように関係するか？
• RQ5 アーベリアン写像とMRC線形系は、有理的被覆な3次元多様体上の自己同型の力学的挙動を分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 3次元多様体では、正エントロピーを有する自己同型は、3次元トーラス、弱カバリヤー3次元多様体、有理的連結3次元多様体への双有理的同型、または力学的次数がサレム数をなすものに限られる。
• アーベリアン写像が滑らかで不正則性q(X) = 1である場合、基本群π₁(X)はℤ⊕²に同型である。
• もし(X,g)が剛性パラボリックまたは原始的正エントロピーであれば、κ(X) ≤ 0であり、3次元では、力学的次数がサレム数である場合を除き、この性質が成り立つ。
• q(X) = 1で正エントロピーを有する有理的被覆3次元多様体では、アーベリアン写像のすべてのファイバーは、非大きな反標準束と11以上のピカール数を有する滑らかな有理的曲面である。
• 本研究の分類は、良い最小モデルの存在に依存しており、最近の最小モデルプログラムの進展に従い、高次元でも期待される。
• 本稿では、Guedjの予想を3次元多様体に対して確認し、非自明な高次元力学的挙動を有するものは、三つの標準的タイプ（トーラス、wCY、有理的連結）に限られることを示した。