[論文レビュー] Automorphisms of surfaces: Kummer rigidity and measure of maximal entropy

Serge Cantat, Christophe Dupont|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 65被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、正のエントロピーをもつ自己同型に関して、最大エントロピー不変測度がLebesgue測度に関して絶対連続であるような複素射影的曲面を分類する。複素力学、Kummer曲面論、およびDinh-SibonyのAhlforsカレントに関する定理を用いて、著者らは、このような測度が絶対連続であるための必要十分条件として、曲面が複素トーラスに対する有限群作用と周期軌道の吹き上げを経て得られる古典的Kummer曲面であることを証明する。

ABSTRACT

We classify complex projective surfaces with an automorphism of positive entropy for which the unique invariant measure of maximal entropy is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure.

研究の動機と目的

• 正のエントロピーをもつ自己同型を備えた複素射影的曲面を分類し、その最大エントロピー不変測度がLebesgue測度に関して絶対連続である場合を特定する。
• Curtis T. McMullenおよび最初の著者が提起した、このような系の剛性に関する問題を解決する。
• K3曲面上で最大エントロピー測度が標準的体積形式と一致する条件を特定する。
• このような系が、アーベル曲面の自己同型的商とその後の周期軌道の吹き上げによってのみ得られることを確立する。
• 一般のK3曲面上では最大エントロピー測度が特異的であることを示し、有理曲面の既知の例と対比する。

提案手法

• トポロジカルエントロピーとコホロロジー上への作用のスペクトル半径を結びつけるGromov-Yomdin定理を用いる。
• 不変カレントおよび調和カレントの理論を用いて、K3曲面上の自己同型の力学を分析する。
• Ahlforsカレントに関するDinh-Sibony定理を応用し、特定の部分集合にBrody曲線が存在しないことを検出することで、双曲的性を示す。
• 整関数曲線の正規族とその再スケーリングを用いて、安定多様体の構造を研究する。
• Hartogsの拡張定理と正則foliation技法を用いて、特異曲面上の曲線の振る舞いを分析する。
• Kummer構成に依存する：特定に、−Idの対合による有限群作用を施したアーベル曲面から出発し、特異点を解消することで、自己同型を誘導するK3曲面を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの複素射影的曲面が、正のエントロピーをもつ自己同型をもち、その最大エントロピー不変測度がLebesgue測度に関して絶対連続であるか？
• RQ2 最大エントロピー測度が絶対連続であるK3曲面上の自己同型の、幾何学的および力学的特徴づけは何か？
• RQ3 最大エントロピー測度がK3曲面上の標準的体積形式と一致するか？ その条件は何か？
• RQ4 最大エントロピー測度が特異的であるような正のエントロピーをもつK3曲面は存在するか？ 有理曲面の力学とはどのように異なるか？
• RQ5 Kummer構成は、最大エントロピー測度の絶対連続性を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 唯一の不変最大エントロピー測度がLebesgue測度に関して絶対連続であるための必要十分条件は、曲面が複素トーラスに対する対合−Idによる商の最小解消として得られる古典的Kummer曲面であることである。
• このようなKummer曲面上では、最大エントロピー測度が正規化されたホロモーフィック2形式によって誘導される体積形式と一致する。
• (P^1)^3 内の(2,2,2)型の一般のK3曲面に対して、最大エントロピー測度はLebesgue測度に関して特異的である。
• 自己同型と関連するカレントT^+ + T^- の台は、特異モデルX_0上で連続的ポテンシャルを持つため、Dinh-Sibony定理の適用が可能である。
• 周期曲線を法とするファトウ集合はKobayashi双曲的であり、Kobayashi距離が0である点は可約な周期曲線上にある。
• 解消写像によるファトウ集合の像にBrody曲線が存在しないことは、双曲的性を示し、特定の整関数曲線の存在を排除するのにも用いられ、主な分類結果の証明に用いられる。