[論文レビュー] Automorphisms of the semigroup of all endomorphisms of free algebras

Grigori Zhitomirski|ArXiv.org|Oct 11, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の普遍代数の変種における有限生成自由代数の自己準同型半群の自己同型群を記述する一般化された手法を提示する。自己同型を代数上の双対写像による共役（ quasi-inner と呼ばれる）として特徴づけることで、群、逆半群、リー代数、加群などの既知の結果を統一的かつ簡略化し、それらすべての自己同型が、変種の構造に応じて内自己同型または準内自己同型であることが示される。

ABSTRACT

Last years a number of papers were devoted to describing automorphisms of semigroups of endomorphisms of free finitely generated universal algebras of some varieties: groups, semigroups, associative commutative algebras, inverse semigroups, modules, Lie algebras and some others. All these researches were inspired by the questions prof. B. Plotkin set in connection with so called universal algebraic geometry (see for example Arxiv:math, GM/0204245). The aim of this paper is to suggest a method of describing the group AutEnd(F) for a free finitely generated algebra F of an arbitrary variety of universal algebras. This method allows to obtain easily all known results as well as new ones.

研究の動機と目的

• 任意の普遍代数の変種における有限生成自由代数 $F$ の自己準同型半群 $\mathrm{End}(F)$ の自己同型群 $\mathrm{Aut}\,\mathrm{End}(F)$ を記述する一般枠組みを構築すること。
• 群、逆半群、リー代数、加群などの特定の変種における $\mathrm{End}(F)$ の自己同型に関する既存の結果を統一的かつ簡略化すること。
• $\Phi(\nu) = s \circ \nu \circ s^{-1}$ の形で、$F$ 上の双対写像 $s$ による共役によって誘導される自己同型を、準内自己同型（quasi-inner）と定義すること。
• このような自己同型が内自己同型または準内自己同型であるための必要十分条件を、$F$ の代数的構造に応じて特定すること。
• 本手法を応用して、自由リー代数や環上の加群を含むさまざまな変種について、既知の結果を回復し、新たな結果を導出すること。

提案手法

• 自由代数 $F$ の基底集合上の双対写像 $s$ による共役として定義される準内自己同型を、標準的な内自己同型の概念を一般化する形で定義する。
• $\mathrm{Aut}(F)$ の部分群と $\mathrm{End}(F)$ の左イデアルとのガロア対応を用いて、構造的不変量を保存する自己同型を特徴づける。
• 自己同型が準内的である振る舞いを分析するため、基底行列を導入し、自己同型が自己準同型に与える作用を解析する。
• 双対写像 $s$ を通じて $F$ 上に導出された代数的構造を構築し、$s$ が $F$ 上に同型な演算系を誘導することを示す。
• $s$ によって誘導される多項式的演算を分析し、元の演算と導出された演算が一致することを示し、自己同型の一貫性を保証する。
• 特定の変種に対して、$s$ が恒等式、逆元、スカラー作用などを保存する条件を検証することで、自己同型を内自己同型または準内自己同型に分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型 $\Phi$ が $\mathrm{End}(F)$ 上で準内的（quasi-inner）である、すなわち $F$ 上の双対写像 $s$ による共役 $\Phi(\nu) = s \circ \nu \circ s^{-1}$ として表されるための条件は何か？
• RQ2 どの変種の自由代数に対して、$\mathrm{End}(F)$ のすべての自己同型が内自己同型または準内自己同型であるか？
• RQ3 一般化された手法が、群、リー代数、加群など多様な変種における $\mathrm{Aut}\,\mathrm{End}(F)$ の記述を統一的かつ簡略化する方法は何か？
• RQ4 体や環の自己同型が、加群やリー代数の $\mathrm{Aut}\,\mathrm{End}(F)$ の構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 $F$ 上の双対写像 $s$ が同型な代数的構造を誘導する条件は何か？ そして、そのような誘導が自己同型が準内的であることにどのように関係するか？

主な発見

• 1個より多くの生成元を持つ自由逆半群 $F$ に対して、$\mathrm{End}(F)$ のすべての自己同型は内自己同型である。これは双対半群と中心的対合を用いた解析によって示される。
• 1個より多くの自由生成元を持つ自由群 $F$ に対して、$\mathrm{End}(F)$ のすべての自己同型は内自己同型である。これは導出された二項演算の形に対する制約から生じる。
• 無限体 $K$ 上の自由リー代数 $F$ に対して、$\mathrm{End}(F)$ のすべての自己同型は準内自己同型である。これは、$k \in K$ および $w \in F$ に対して $\sigma(kw) = \varphi(k)\sigma(w)$ を満たすねじれ自己同型 $\sigma$ によって誘導される。ここで $\varphi$ は体自己同型である。
• ある条件を満たす環 $R$ 上の自由加群 $M$ に対して、$\mathrm{End}(M)$ のすべての自己同型は準内自己同型である。これは $M$ のねじれ自己同型によって誘導される。
• 本手法により、群、逆半群、リー代数、加群についての既知の結果が一様な枠組みで回復され、簡略化された。
• 本アプローチにより、準内自己同型は、双対写像 $s$ によって誘導される元の代数的構造と導出された代数的構造との同型写像に対応することが示された。