[論文レビュー] Automorphy of some residually dihedral Galois representations

Jack A. Thorne|Apollo (University of Cambridge)|Apr 4, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全実体上の2次元ガロア表現について、ターナー＝ワイルズの仮定を満たさない場合に、制御された分岐を用いた $ R = \bbT $ 論法により、新しい自己形式性上昇定理を確立する。主な結果として、5が平方でなく、有理数の5-同一型が存在しない場合に、完全実体上の楕円曲線のモジュラー性が示され、古典的枠組みを超えたモジュラー性結果が拡張される。

ABSTRACT

We establish the automorphy of some families of 2-dimensional representations of the absolute Galois group of a totally real field, which do not satisfy the so-called `Taylor--Wiles hypothesis'. We apply this to the problem of the modularity of elliptic curves over totally real fields

研究の動機と目的

• 完全実体上の2次元ガロア表現の自己形式性を、ターナー＝ワイルズの仮定を満たさない場合に確立すること。
• 残り表現が $ F(\rho_5) $ で不変であると仮定する古典的枠組みを超えて、楕円曲線のモジュラー性結果を拡張すること。
• 制御された分岐とマズールの原理を用いて、ターナー＝ワイルズ条件を必要としない新しい $ R = \bbT $ 方法を開発すること。
• 完全実体上の楕円曲線が有理数の5-同一型を持たず、5が底辺体に平方でない場合、そのモジュラー性を証明すること。
• 特に非通常および潜在的に上昇特異な表現を含む、残りが二面体である場合のフォンタイン＝マズール予想に対する新しいアプローチを提供すること。

提案手法

• $ p^{N_0} $ を法として満たされるが、元の表現 $ \rho $ では満たされない追加の分岐条件を備えた $ R = \bbT $ 定理を構成する。
• 変形環 $ R $ がワイト環 $ W(k) $ に同型であるようにすることで、ターナー＝ワイルズ法に依存せずに $ R = \bbT $ を保証する。
• マズールの原理を用いて、$ \rho \mod p^{N_0} $ が固定されたレベル $ N $ のモジュラー曲線のエタールコホロジーに現れることを示す。この $ N $ は $ N_0 $ に依存しない。
• $ N_0 \to \infty $ の逆極限を取ることで、$ \rho $ 自身がコホロジーに現れること、したがって自己形式的であることが導かれる。
• 楕円曲線にこの方法を適用するため、その mod 5 ガロア表現が必要な残りが二面体的かつ完全奇数的であることを確認する。
• 基底変換と可解拡大を用いて、$ \rho $ と同じ mod $ p $ 近似を持つ、重み2のカスプ形式的自動形式表現 $ \pi $ の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 残り表現が $ F(\zeta_p) $ で可約になる、すなわち残りが二面体的である場合に、完全実体上の2次元ガロア表現の自己形式性を確立できるか？
• RQ2 特に潜在的に上昇特異または非通常の設定において、ターナー＝ワイルズの仮定を仮定しないで自己形式性を証明することは可能か？
• RQ3 残りが自己形式的でない状況において、$ R = \bbT $ 方法が古典的ターナー＝ワイルズの道具立てを回避できる程度にどの程度適合可能か？
• RQ4 完全実体上の楕円曲線にどのような条件を課すと、mod 5 表現が残りが二面体的であってもモジュラー性が保証されるか？
• RQ5 この方法は他の素数 $ p $ に拡張可能か、それとも $ p = 5 $ に特化しているか？（証明の構造から暗黙的に示唆される。）

主な発見

• 定理7.5は、$ p = 5 $ で残りが二面体的である条件を満たすが、ターナー＝ワイルズの仮定を必要としない完全実体上の2次元ガロア表現の自己形式性を確立する。
• 本稿は、完全実体 $ F $ 上の任意の楕円曲線 $ E $ が、$ F $ に5が平方でなく、$ F $-有理数の5-同一型が存在しない場合にモジュラーであることを証明する（定理7.6）。
• 制御された分岐とマズールの原理を用いた $ R = \bbT $ 同型の構成により、ターナー＝ワイルズの議論を回避する方法が開発された。
• 自己形式性の結果は、古典的ヒダ理論の範囲外にある潜在的に上昇特異な表現に対しても成立する。
• 証明は、プロジェクト型表現が $ \bbF_2 \times \bbF_2 $ に同型である、従来の定理では除外されていたケースに対しても適用可能である。
• この結果により、$ F \cap \bbQ(\zeta_5) = \bbQ $ かつ mod 5 表現が非可約である完全実体上のすべての楕円曲線が、有理数の5-同一型が存在しない限りモジュラーであることが示唆される。