[論文レビュー] Auxiliary Field Formulation of Supersymmetric Nonlinear Sigma Models

Kiyoshi Higashijima, Muneto Nitta|ArXiv.org|Aug 31, 2000

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ケーラー多様体としてのヘルミート対称空間（HSS）上における2次元 ${\cal N}=2$ スーパーシンメトリー非線形シグマ模型（SNLσM）の体系的な補助場形式を提示する。補助ベクトル超場と補助キラル超場を用いて、D項およびF項の制約を導入し、それらが標的多様体を定義する。補助ベクトル超場の正確な経路積分により、ファビニ・シュテュルム計量に相当するケーラー潜在関数が得られ、大$N$手法による非摂動的解析が可能になる。

ABSTRACT

Two dimensional N=2 supersymmetric nonlinear sigma models on hermitian symmetric spaces are formulated in terms of the auxiliary superfields. If we eliminate auxiliary vector and chiral superfields, they give D- and F-term constraints to define the target manifolds. The integration over auxiliary vector superfields, which can be performed exactly, is equivalent to the elimination of the auxiliary fields by the use of the classical equations of motion.

研究の動機と目的

• ヘルミート対称空間（HSS）上における ${\cal N}=2$ スーパーシンメトリー非線形シグマ模型の非摂動的枠組みを構築すること。これは4次元 ${\cal N}=1$ QCDとの類似性に関連する。
• 既知の例（$\mathbb{C}P^{N-1}$ やグラスマン多様体）を超えて、例外的群を含むすべてのHSSタイプにまで補助場法を拡張すること。
• 補助ベクトル超場（D項のために）と補助キラル超場（F項のために）を用いた統一的定式化を構築し、すべてのHSSを標的多様体として実現すること。
• 補助ベクトル超場の正確な統合が、正しいケーラー潜在関数を再現することを示し、古典的運動方程式の結果と一致することを確認すること。

提案手法

• Fayet-Iliopoulos D項制約を実装するために補助ベクトル超場 $V$ を導入し、ケーラー潜在関数 $K = \mathrm{tr}(\Phi^† \Phi e^V) - c\,\mathrm{tr}(V)$ を用いる。ここで $c$ はFIパラメータである。
• F項制約を実現するために補助キラル超場 $\phi_0$ または $\Phi_0$ を導入し、重ね合わせ関数 $W = \phi_0 I_2$ または $W = \mathrm{tr}(\Phi_0 I_2')$ を用いる。ここで $I_2$, $I_2'$ は $G$-不変多項式である。
• 補助場 $V$ の正確な統合を実行するための定理を用いる：$\int[dV] \exp\left[i\int d^Dx d^4\theta (\phi^†\phi e^V - cV)\right] = \exp\left[i\int d^Dx d^4\theta\, c \log(\phi^†\phi)\right]$。
• 非アーベル的 $V$ の場合、この定理を行列超場へ一般化し、ゲージ不変性の下でも結果が有効であることを保証する。
• すべてのHSSタイプ（AIII, BDI, CI, DIII, EIII, EVII）にこの手法を適用し、適切な不変量（$I_2$, $I_2'$, $\partial I_3$, $\partial I_4$）と高ランク射影空間への埋め込みを用いる。
• 不変テンソルの恒等式により、F項制約の数が減少することを示す（例：$E_6$ では27個の式のうち10個が独立、$E_7$ では56個の式のうち28個が独立）。これにより過剰制約を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのヘルミート対称空間上における ${\cal N}=2$ スーパーシンメトリー非線形シグマ模型を、補助超場を用いて一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 非二次的作用の下で補助ベクトル超場の正確な経路積分の結果は何か？また、これは古典的運動方程式の結果と一致するか？
• RQ3 補助キラル超場からのF項制約は、$E_6$ や $E_7$ などの例外的群を含むすべてのHSSをどのように実現するか？
• RQ4 ゲージ不変性と正確性を保ったまま、補助場法を非アーベル的ゲージ群および行列値超場へ一般化できるか？
• RQ5 FIパラメータ $c$ は、補助場の統合後に得られる標的多様体のサイズと幾何学的性質をどのように決定するか？

主な発見

• 補助ベクトル超場 $V$ の正確な統合により、$\exp\left[i\int d^Dx d^4\theta\, c \log(\phi^†\phi)\right]$ が得られ、これは $V$ の古典的運動方程式の解と一致する。非二次的作用にもかかわらず一貫性が確認される。
• 補助場法により、D項制約（$V$ を通じて）とF項制約（$\phi_0$ や $\Phi_0$ を通じて）を組み合わせることで、すべてのヘルミート対称空間 $G/H$ が標的多様体として正しく構成できる。
• $E_6$ や $E_7$ モデルでは、$G$-不変な正則制約が存在しないため、$G$-不変多項式の微分 $\partial I_3$, $\partial I_4$ からF項制約が得られる。
• テンソル恒等式によりF項制約の独立数が減少する：$E_6$ では27個の式のうち10個が独立、$E_7$ では56個の式のうち28個が独立。これにより一貫性が保証される。
• FIパラメータ $c$ は、補助場統合後の標的多様体のサイズを制御する。$n$ 個のアーベル的因子への一般化により、$n$ 個の自由パラメータを持つ任意のケーラー $G/H$ 多様体を構成可能である。
• 非アーベル的 $V$ については行列値超場を用い、一般化された定理の下で同じ正確な結果が成り立つ。これにより、$U(M)$-ゲージ理論のモデル（例：$G_{N,M}(\mathbb{C})$）への応用が可能になる。