[論文レビュー] AVERAGE RANK OF ELLIPTIC CURVES

Séminaire Bourbaki, Arul Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

BhargavaとShankarは、有理数体 Q 上の楕円曲線の平均階数が有界であることを示した。これは、有界な不変量を持つ整数係数二元四次形式の漸近的数え上げに基づいて得られる2-Selmer群の平均サイズの正確な公式を用いて証明された。これにより、Q 上の楕円曲線の平均階数に対する初の条件なしの上界が得られた。

ABSTRACT

Bhargava and Shankar prove that as E varies over all elliptic curves over Q, the average rank of the finitely generated abelian group E(Q) is bounded. This result follows from an exact formula for the average size of the 2-Selmer group, which in turn follows from an asymptotic formula for the number of binary quartic forms over Z with bounded invariants. We explain their proof, as well as other arithmetic applications.

研究の動機と目的

• 有理数体 Q 上の楕円曲線の平均階数を特定すること。
• すべての Q 上の楕円曲線の平均階数に対する条件なしの上界を確立すること。
• すべての楕円曲線にわたる2-Selmer群の平均サイズの正確な公式を導出すること。
• 楕円曲線の算術的性質と、有界な不変量を持つ整数係数二元四次形式の漸近的数え上げを結びつけること。
• 算術統計およびBirchとSwinnerton-Dyer予想へのさらなる応用の基盤を提供すること。

提案手法

• 有界な不変量を持つ整数係数二元四次形式の数に対する漸近的公式を導出すること。
• 漸近的数え上げを用いて、Q 上の楕円曲線の2-Selmer群の平均サイズを計算すること。
• 2-Selmer群のサイズを用いて、Mordell-Weil群の構造を介して E(Q) の平均階数を評価すること。
• 2-Selmer群の平均サイズの正確な公式を確立し、これにより平均階数の上界を得ること。
• 数論的幾何学と不変量論を用いて、二元四次形式の分布を分析すること。
• 2-Selmer元の整数係数二元四次形式によるパラメトライゼーションを用いて、数え上げと算術的不変量を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての Q 上の楕円曲線にわたる、楕円曲線の平均階数は何か？
• RQ2 すべての Q 上の楕円曲線にわたる、2-Selmer群のサイズは平均的にどのように振る舞うか？
• RQ3 有界な不変量を持つ整数係数二元四次形式の数の漸近的成長率は何か？
• RQ4 2-Selmer群の平均サイズは正確に計算可能か？そしてそれは平均階数にどのような意味を持つのか？
• RQ5 これらの結果は、楕円曲線上の有理点の分布にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 有理数体 Q 上の楕円曲線の平均階数は、ある有限定数によって上から有界である。
• すべての Q 上の楕円曲線にわたる2-Selmer群の平均サイズは、正確に 3 に等しい。
• 有界な不変量を持つ整数係数二元四次形式の数の漸近的数え上げが特定され、これにより2-Selmer群の平均値を正確に計算可能となった。
• 平均階数の上界は条件なしであり、2-Selmer群サイズの正確な公式から導出された。
• この手法は、より高いSelmer群の研究や、将来の平均階数の上界の導出のためのフレームワークを提供する。
• 結果は、ほとんどの楕円曲線が階数 0 または 1 を持ち、極限においてそれぞれの密度が 1/2 であるという予想を支持する。