[論文レビュー] Average structures associated with a Finsler space

Ricardo Gallego Torromé|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Finsler幾何的対象（例えば、基本テンソル、Chern-Rund接続、曲率自己準同型）を、底多様体上の同等のアフィン的またはリーマン的構造へと変換する平均化手法を導入する。主な貢献は、平均リーマン計量および接続の構成であり、これによりリーマンの定理（例：ガウス・ボンネの定理）の一般化がベルワルド空間へ可能となり、曲率の平均化を通じて新たなアフィン的・局所等長不変量が得られる。

ABSTRACT

Given a Finsler space (M,F) on a manifold M, the averaging method associates to Finslerian geometric objects affine geometric objects} living on $M$. In particular, a Riemannian metric is associated to the fundamental tensor $g$ and an affine, torsion free connection is associated to the Chern-Rund connection. As an illustration of the technique, a generalization of the Gauss-Bonnet theorem to Berwald surfaces using the average metric is presented. The parallel transport and curvature endomorphisms of the average connection are obtained. The holonomy group for a Berwald space is discussed. New affine, local isometric invariants of the original Finsler metric. The heredity of the property of symmetric space from the Finsler space to the average Riemannian metric is proved.

研究の動機と目的

• 指示子上での平均化を用いて、Finsler空間にリーマン的およびアフィン的幾何的構造を体系的に関連付ける方法の構築。
• ガウス・ボンネの定理などのリーマン的結果を、特にベルワルド空間に対してFinsler的枠組みへ一般化すること。
• Chern-Rund接続の平均曲率自己準同型を用いて、Finsler計量の新たなアフィン的・局所等長不変量を構成すること。
• 平均リーマン計量の観点から、ベルワルド空間のホロノミーおよび等長性の性質を調査すること。
• 適切な条件下で、Finsler幾何における対称空間の性質が平均リーマン計量に引き継がれるかどうかの証明。

提案手法

• 平均化は、各点 $x \in M$ における指示子 $I_x$ 上で、スリット接束 $N = TM \setminus \{0\}$ に備わる標準測度を用いて、Finsler幾何的対象（例えば、基本テンソルや曲率自己準同型）を積分することによって行われる。
• 平均計量 $h$ は $\langle g \rangle_x = \frac{1}{\text{vol}(I_x)} \int_{I_x} g_y \, d\mu_y$ として定義され、Finsler計量を $M$ 上のリーマン的構造に変換する。
• 平均接続 $\langle \nabla \rangle$ は、指示子上でのChern-Rund接続の成分を平均化することによって構成され、$TM$ 上のアフィン的かつ torsion-free 接続が得られる。
• 平均接続の平行移動および曲率自己準同型は、$\hat{\pi}^*TM$ 上の元の線形接続に対応する作用素を垂直および水平への持ち上げることによって導出される。
• 曲率自己準同型 $\langle R \rangle$、$\langle P \rangle$、$\langle Q \rangle$ は、Chern-Rund接続のリーマン曲率テンソル、hv-曲率テンソル、vv-曲率テンソルを $I_x$ 上で平均化することによって定義される。
• 等長不変量は、平均計量の体積形式 $d\mu$ に関して $M$ 上で積分されるスカラー関数 $\mathcal{F}_R(\langle R \rangle, h)$ および $\mathcal{F}_P(\langle P \rangle, h)$ の積分として構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス・ボンネの定理などのリーマン的定理を、平均化構成を用いてベルワルドFinsler空間へ一般化することは可能か？
• RQ2 ベルワルド空間のホロノミーとその平均リーマン計量のホロノミーとの関係は何か？
• RQ3 対称Finsler空間は、どのような条件下で対称な平均リーマン計量を誘導するか？
• RQ4 Chern-Rund接続の曲率に基づく自己準同型を平均化することで、Finsler計量の新たなアフィン的・局所等長不変量が得られるか？
• RQ5 元のFinsler構造の等長変換に対して、平均計量はどのように振る舞い、その不変性からどのような不変量が生じるか？

主な発見

• ランダース計量 $F_R = \alpha + \beta$ において $a_{ij} = \delta_{ij}$ のとき、平均計量 $h$ は1形式 $b$ に依存せず、指示子上でユークリッド的になる。
• ベルワルド空間では、平均計量 $h$ のリーマン曲率テンソルが、Chern-Rund接続のリーマン曲率テンソルの平均として得られる。
• 平均計量を用いて、ベルワルド曲面へのガウス・ボンネの定理の一般化が確立され、古典的なリーマン的結果がFinsler的設定へ拡張される。
• 平均曲率自己準同型 $\langle P \rangle$ および $\langle Q \rangle$ は $M$ 上で大域的に定義されており、積分 $\int_M d\mu \, \mathcal{F}_P(\langle P \rangle, h)$ を通じて新たなアフィン的・局所等長不変量をもたらす。
• 指示子の体積が一定であり、$(M,a)$ が対称的である場合、Finsler空間が対称空間の性質を持つ限り、平均計量もその性質を引き継ぐ。逆に可逆性の仮定は不要である。
• 曲率に基づく不変量 $\int_M d\mu \, \mathcal{F}_R(\langle R \rangle, h)$ および $\int_M d\mu \, \mathcal{F}_P(\langle P \rangle, h)$ は、元のFinsler計量 $F$ の等長変換に関して不変である。これは測度の不変性および接続の不変性による。